Graniastosłupy
Zadanie 25, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(CG\) tego sześcianu (zobacz rysunek).
Oblicz odległość wierzchołka \(C\) od płaszczyzny zawierającej punkty \(B\), \(D\) oraz \(P\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Szukana odległość wynosi \(\frac{a\sqrt6}{6}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(S\) będzie środkiem podstawy \(ABCD\). Punkt \(S\) leży na przekątnej \(BD\), więc odcinek \(PS\) leży w płaszczyźnie \(BDP\). Mamy
\[|CS|=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad |CP|=\frac a2,\qquad |PS|=\sqrt{|CS|^2+|CP|^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.\]
Przekątna \(BD\) jest prostopadła do płaszczyzny \(CPS\), dlatego wysokość \(h\) trójkąta \(CPS\) opuszczona na \(PS\) jest odległością punktu \(C\) od płaszczyzny \(BDP\). Pole trójkąta obliczamy dwiema metodami:
\[P_{CPS}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac a2=\frac{a^2\sqrt2}{8}\]
oraz
\[P_{CPS}=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot h.\]
Po porównaniu otrzymujemy
\[h=\frac{a\sqrt6}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**2 pkt** – obliczenie pola trójkąta \(CPS\) i wyrażenie go za pomocą szukanej odległości \(h\), albo równoważny zaawansowany etap innej metody
**1 pkt** – obliczenie \(|PS|=\frac{a\sqrt3}{2}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
X.2 R) Zdający wyznacza przekroje sześcianu.
