Trójkąty
Zadanie 15, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek). Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa
**A.** \(1{,}5\)
**B.** \(2\)
**C.** \(2{,}5\)
**D.** \(3\)
Odpowiedź
**D.** \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty \(ADC\) i \(CDB\) mają tę samą wysokość opuszczoną z punktu \(C\) na prostą \(AB\), dlatego stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:
\[\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}}=\frac{|AD|}{|DB|}=4.\]
Z twierdzenia o przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym mamy
\[|AC|^2=|AB|\cdot|AD|,\qquad |BC|^2=|AB|\cdot|DB|.\]
Po podzieleniu stronami otrzymujemy
\[\frac{|AC|^2}{|BC|^2}=\frac{|AD|}{|DB|}=4,\]
więc \(|AC|=2|BC|\). Ponieważ \(|AC|=6\), dostajemy \(|BC|=3\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** planimetria - podobieństwo trójkątów i twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym.
