Trójkąty
Zadanie 20, sierpień 2025, poziom podstawowy
Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(CDE\) jest równe \(2\), a pole trójkąta \(BCE\) jest równe \(4\).
Pole trójkąta \(ABE\) jest równe
**A.** \(4\)
**B.** \(6\)
**C.** \(8\)
**D.** \(10\)
Odpowiedź
C. \(8\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(AB\parallel CD\), kąty \(EAB\) i \(ECD\) są naprzemianległe, podobnie kąty \(EBA\) i \(EDC\). Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są więc podobne (cecha kąt-kąt), a skala podobieństwa wynosi
\[k=\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert CD\rvert}=2.\]
Stosunek pól figur podobnych jest kwadratem skali, więc
\[P_{ABE}=k^2\cdot P_{CDE}=4\cdot2=8.\]
**Odpowiedź.** C. \(8\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe: 7.3) Rozpoznaje trójkąty podobne; G10.12) oblicza stosunek pól wielokątów podobnych; G10.9) oblicza pola trójkątów.
