Trójkąty
Zadanie 33, sierpień 2022, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) - na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). **Oblicz długość odcinka \(EF\).**
Odpowiedź
\[|EF|=18.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(24\) ma długość \(12\sqrt3\), zatem \(SD=6\sqrt3\) i \(|AD|=12\). Trójkąty \(EDS\) i \(ADC\) są podobne, ponieważ \(ES\parallel AC\). Skala podobieństwa wynosi
\[\frac{|SD|}{|CD|}=\frac12,\]
więc \(|ED|=6\). Stąd \(|AE|=|AD|-|ED|=6\) oraz \(|BE|=24-6=18\). Ponieważ trójkąty \(BFE\) i \(BCA\) są podobne,
\[\frac{|EF|}{|AC|}=\frac{|BE|}{|BA|}=\frac{18}{24}=\frac34.\]
Zatem \(|EF|=\frac34\cdot24=18\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(|EF|=18\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnej proporcji wynikającej z podobieństwa trójkątów lub wyznaczenie jednego z odcinków \(ES\), \(SF\), \(ED\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II i III interpretowanie rysunku oraz użycie obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.3 i VIII.7 stosowanie podobieństwa trójkątów, własności trójkąta równobocznego i twierdzenia Pitagorasa.
