Geometria płaska
Zadanie 15, sierpień 2017, poziom podstawowy
W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest
równoległy do boku AB, a ponadto \(AE = DE = 4 , AB = 6\) (zobacz rysunek).
C
E D
\(4\)
\(4\)
A B
\(6\)
Odcinek CE ma długość
\(16\) \(8\)
A. B. C. \(8\) D. \(6\)
\(3\) \(3\)
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(AE = DE = 4\), \(AB = 6\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CE\) ma długość” z wariantami **A.** \(\frac{16}{3}\) **B.** \(\frac{8}{3}\) **C.** \(8\) **D.** \(6\).
podpisy rysunku (litery \(C\), \(E\), \(D\), \(A\), \(B\) i liczby \(4\), \(4\), \(6\)) zostały wciągnięte w tekst jako osobne wiersze między zdaniem o rysunku a pytaniem o \(CE\); dwa pierwsze warianty rozpadły się w pionie — wiersz „\(16\) \(8\)” nad wierszem z literami to liczniki, wiersz „\(3\) \(3\)” pod nim to mianowniki, więc \(\frac{16}{3}\) i \(\frac83\) stoją przy A i B. Zgodność z kluczem CKE (odpowiedź C), bo z \(DE \parallel AB\) mamy \(\triangle CED \sim \triangle CAB\) w skali \(\frac{DE}{AB}=\frac46=\frac23\), więc \(\frac{CE}{CE+4}=\frac23\) i \(CE=8\).
Odpowiedź
C
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(DE\parallel AB\), trójkąty \(CED\) i \(CAB\) mają wspólny kąt przy \(C\) i równe kąty odpowiadające, są więc podobne. Skala:
\[k=\frac{\lvert DE\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac46=\frac23.\]
Oznaczmy \(x=\lvert CE\rvert\). Punkt \(E\) leży na boku \(AC\), więc \(\lvert CA\rvert=x+\lvert AE\rvert=x+4\). Z podobieństwa
\[\frac{x}{x+4}=\frac23,\qquad 3x=2x+8,\qquad x=8.\]
**Odpowiedź.** C. \(8\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 15.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
