Trójkąty
Zadanie 30, sierpień 2016, poziom podstawowy
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S.
\(5\)
Wykaż, że jeżeli \(AS = AC\), to pole trójkąta ABS jest \(25\) razy większe od pola trójkąta DCS.
\(6\)
Odpowiedź
Trójkąty ABS i DCS są podobne w skali \(5\), więc P(ABS)=\(25\)·P(DCS).
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(\lvert AS\rvert=\frac56\lvert AC\rvert\), a punkt \(S\) leży na przekątnej \(AC\), więc
\[\lvert SC\rvert=\lvert AC\rvert-\lvert AS\rvert=\tfrac16\lvert AC\rvert,\qquad \frac{\lvert AS\rvert}{\lvert SC\rvert}=5.\]
Ponieważ \(AB\parallel CD\), kąty \(SAB\) i \(SCD\) są naprzemianległe, podobnie kąty \(SBA\) i \(SDC\). Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są zatem podobne (cecha kąt-kąt), a skala podobieństwa pierwszego względem drugiego wynosi
\[k=\frac{\lvert AS\rvert}{\lvert SC\rvert}=5.\]
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali:
\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=k^2=25,\]
czyli pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\), co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(P_{ABS}=25\,P_{DCS}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: podobieństwo i skala 5 albo równoważne zależności pól. 2 pkt: pełny dowód stosunku pól 25.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 30.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
