Geometria płaska
Zadanie 18, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Oblicz długość odcinka \(AE\), wiedząc, że \(AB\parallel CD\) i \(|AB|=6\), \(|AC|=4\), \(|CD|=8\).
A. \(|AE|=2\)
B. \(|AE|=4\)
C. \(|AE|=6\)
D. \(|AE|=12\)
Odpowiedź
D. \(\lvert AE\rvert=12\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkty \(E\), \(A\), \(C\) leżą na jednej prostej (\(A\) między \(E\) i \(C\)), punkt \(B\) leży na odcinku \(ED\), a \(AB\parallel CD\).
Trójkąty \(EAB\) i \(ECD\) mają wspólny kąt przy \(E\) oraz równe kąty odpowiadające przy prostych równoległych, są więc podobne. Stąd
\[\frac{\lvert EA\rvert}{\lvert EC\rvert}=\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert CD\rvert}=\frac68=\frac34.\]
Oznaczając \(x=\lvert AE\rvert\), mamy \(\lvert EC\rvert=x+4\), więc
\[\frac{x}{x+4}=\frac34,\qquad 4x=3x+12,\qquad x=12.\]
**Odpowiedź.** D. \(\lvert AE\rvert=12\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
