Równania i nierówności
Zadanie 22, maj 2023, poziom podstawowy
Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości \(5\) i \(12\). Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\).
**Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\(P_{T_2}=120\)
Rozwiązanie krok po kroku
Przeciwprostokątna trójkąta \(T_1\) ma długość
\[\sqrt{5^2+12^2}=13.\]
Skala podobieństwa trójkąta \(T_2\) do \(T_1\) jest więc równa
\[k=\frac{26}{13}=2.\]
Pole trójkąta \(T_1\) wynosi
\[P_{T_1}=\frac12\cdot5\cdot12=30.\]
Pola figur podobnych pozostają w stosunku kwadratu skali, zatem
\[P_{T_2}=k^2P_{T_1}=2^2\cdot30=120.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta \(T_2\): \(P_{T_2}=120\)
**1 pkt** – wykorzystanie podobieństwa i zapisanie równania pozwalającego obliczyć przyprostokątne, zapisanie stosunku pól wraz z obliczeniem przeciwprostokątnej \(T_1\), wyznaczenie skali \(k=2\) albo obliczenie przyprostokątnych \(T_2\): \(10\) i \(24\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8 zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
