Geometria płaska
Zadanie 14, maj 2012, poziom podstawowy
Odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe i \(|AB|=5\), \(|AC|=2\), \(|CD|=7\) (zobacz rysunek). Długość odcinka \(AE\) jest równa
**A.** \(\dfrac{10}{7}\)
**B.** \(\dfrac{14}{5}\)
**C.** \(3\)
**D.** \(5\)
Odpowiedź
D. \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(B\) leży na boku \(ED\), \(A\) na boku \(EC\), a odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe.
Trójkąty \(EAB\) i \(ECD\) mają wspólny kąt przy wierzchołku \(E\) oraz równe kąty odpowiadające przy prostych równoległych, są więc podobne. Stąd
\[\frac{\lvert EA\rvert}{\lvert EC\rvert}=\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert CD\rvert}=\frac57.\]
Punkt \(A\) leży między \(E\) i \(C\), więc \(\lvert EC\rvert=\lvert EA\rvert+\lvert AC\rvert=\lvert EA\rvert+2\). Oznaczając \(x=\lvert EA\rvert\), otrzymujemy
\[\frac{x}{x+2}=\frac57,\qquad 7x=5x+10,\qquad x=5.\]
**Odpowiedź.** D. \(5\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Posłużenie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków (I.7.b).
