Odczyt z diagramów i tabel — zadania maturalne z rozwiązaniami

**P, P.** Obie klasy mają średnią \(3{,}5\) oraz medianę \(3{,}5\).

**Krok \(1\).** Dane są przedstawione jako liczebności: dla każdej oceny wiemy, ilu uczniów ją dostało. Średnią liczymy jako sumę wszystkich ocen podzieloną przez liczbę uczniów, przy czym każdą ocenę mnożymy przez jej liczebność. Medianę wyznaczamy, ustawiając wszystkie oceny niemalejąco i biorąc wartość środkową. **Krok \(2\).** Liczba uczniów w każdej klasie: \[\text{IV A}:\ 1+6+3+3+6+1=20,\qquad \text{IV B}:\ 1+3+6+6+3+1=20.\] Obie klasy liczą po \(20\) uczniów. **Krok \(3\).** Suma ocen w klasie IV A: \[1\cdot1+2\cdot6+3\cdot3+4\cdot3+5\cdot6+6\cdot1=1+12+9+12+30+6=70,\] więc średnia wynosi \(\frac{70}{20}=3{,}5\). **Krok \(4\).** Suma ocen w klasie IV B: \[1\cdot1+2\cdot3+3\cdot6+4\cdot6+5\cdot3+6\cdot1=1+6+18+24+15+6=70,\] więc średnia również wynosi \(\frac{70}{20}=3{,}5\). Stwierdzenie \(1\) jest **prawdziwe**. **Krok \(5\).** Mediana przy \(20\) danych (liczba parzysta) to średnia arytmetyczna oceny \(10\). i \(11\). w uporządkowanym ciągu. **Krok \(6\).** Klasa IV A po uporządkowaniu: ocena \(1\) zajmuje miejsce \(1\), oceny \(2\) miejsca od \(2\) do \(7\), oceny \(3\) miejsca od \(8\) do \(10\), oceny \(4\) miejsca od \(11\) do \(13\). Zatem \(10\). oceną jest \(3\), a \(11\). jest \(4\), czyli \[\text{mediana}=\frac{3+4}{2}=3{,}5.\] **Krok \(7\).** Klasa IV B: ocena \(1\) zajmuje miejsce \(1\), oceny \(2\) miejsca od \(2\) do \(4\), oceny \(3\) miejsca od \(5\) do \(10\), oceny \(4\) miejsca od \(11\) do \(16\). Znowu \(10\). oceną jest \(3\), a \(11\). jest \(4\), więc mediana także wynosi \(3{,}5\). Stwierdzenie \(2\) jest **prawdziwe**. **Uwaga.** Rozkłady ocen w obu klasach są różne, a mimo to średnia i mediana wychodzą takie same — oba zestawy są swoimi lustrzanymi odbiciami względem wartości \(3{,}5\). Zauważmy też, że mediana nie musi być jedną z wystawionych ocen: przy parzystej liczbie danych może wypaść w połowie drogi między dwiema ocenami. **Odpowiedź.** \(1\) — prawda, \(2\) — prawda (PP)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** XII.2) Zdający oblicza średnią arytmetyczną […], znajduje medianę […].

\(1\). Dominanta wynosi \(1\). \(2\). Średnia wynosi \(2\). \(3\). \(125\) procent.

Z tabeli odczytujemy liczby samochodów dla kolejnych liczb usterek. Łączna liczba samochodów wynosi \[16+10+6+2+2=36.\] **Dominanta.** Dominantą jest wartość występująca najczęściej. Największa liczebność to \(16\) i odpowiada jednej usterce, więc dominanta wynosi \(1\). **Średnia arytmetyczna.** Sumujemy wszystkie usterki, ważąc liczbą samochodów: \[16\cdot1+10\cdot2+6\cdot3+2\cdot4+2\cdot5=16+20+18+8+10=72.\] Zatem \[\bar x=\frac{72}{36}=2.\] **Porównanie procentowe.** Co najmniej dwie usterki wykryto w \[10+6+2+2=20\] samochodach, a dokładnie jedną — w \(16\). Szukany procent to \[\frac{20}{16}\cdot100\%=1{,}25\cdot100\%=125\%.\] **Odpowiedź.** \(1\). \(1\) \(2\). \(2\) \(3\). \(125\)

1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania. 2 pkt: poprawne uzupełnienie dwóch zdań. 3 pkt: poprawne uzupełnienie wszystkich trzech zdań. Nie akceptuje się zaokrągleń.

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie danych z tabeli (diagramu) oraz obliczanie dominanty, średniej arytmetycznej zestawu z wagami i porównania procentowego dwóch liczebności. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Osoby zarabiające \(5{,}5\) tys. zł lub mniej stanowią \(87\%\) pracowników.

Liczba osób zarabiających nie więcej niż \(5{,}5\) tys. zł wynosi \[1+1+4+7+10+14+13+9+6=65.\] Wszystkich pracowników jest \(75\), zatem szukany odsetek to \[\frac{65}{75}\cdot100\%=86{,}6\ldots\%\approx87\%.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(87\%\) **1 pkt** – poprawna metoda obliczenia odsetka pracowników zarabiających \(5{,}5\) tys. zł lub mniej **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.1 interpretowanie danych z wykresu i operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** XII.2 stosowanie skali centylowej.