Graniastosłupy
Zadanie 26, sierpień 2024, poziom podstawowy
Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym podstawy \(ABCD\) i \(EFGH\) są kwadratami o boku długości \(6\). Przekątna \(BH\) tego prostopadłościanu tworzy z przekątną \(AH\) ściany bocznej \(ADHE\) kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Przekątna \(BH\) tego prostopadłościanu ma długość równą
**A.** \(4\sqrt3\)
**B.** \(6\sqrt3\)
**C.** \(12\)
**D.** \(12\sqrt2\)
Odpowiedź
**C.** \(12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinek \(AB\) jest prostopadły do ściany \(ADHE\), więc jest prostopadły do leżącej w tej ścianie przekątnej \(AH\). Trójkąt \(ABH\) jest zatem prostokątny w punkcie \(A\). Kąt między \(BH\) i \(AH\), czyli \(\angle BHA\), ma miarę \(30^\circ\). Wobec tego
\[\sin30^\circ=\frac{|AB|}{|BH|}=\frac6{|BH|}.\]
Ponieważ \(\sin30^\circ=\frac12\), otrzymujemy
\[\frac12=\frac6{|BH|},\qquad |BH|=12.\]
Poprawna jest odpowiedź **C**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
X.3) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami, w tym krawędziami i przekątnymi, oraz oblicza miary tych kątów.
VIII.11) Zdający stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków.
