Graniastosłupy
Zadanie 26, sierpień 2024, poziom podstawowy
Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym podstawy \(ABCD\) i \(EFGH\) są kwadratami o boku długości \(6\). Przekątna \(BH\) tego prostopadłościanu tworzy z przekątną \(AH\) ściany bocznej \(ADHE\) kąt o mierze \(30^\circ\).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Przekątna \(BH\) tego prostopadłościanu ma długość równą
**A.** \(4\sqrt3\)
**B.** \(6\sqrt3\)
**C.** \(12\)
**D.** \(12\sqrt2\)
Odpowiedź
**C.** \(12\)
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinek \(AB\) jest prostopadły do płaszczyzny ściany \(ADHE\), więc \(AB\perp AH\). Trójkąt \(ABH\) jest zatem prostokątny w punkcie \(A\), a \(\angle AHB=30^\circ\). Mamy
\[\sin30^\circ=\frac{|AB|}{|BH|}=\frac6{|BH|}.\]
Ponieważ \(\sin30^\circ=\frac12\), otrzymujemy
\[\frac12=\frac6{|BH|},\qquad |BH|=12.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
9.1) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami.
9.3) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków.
