Graniastosłupy
Zadanie 21, sierpień 2016, poziom podstawowy
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha\). Wtedy wartość \(\sin\frac{\alpha}{2}\) jest równa
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{\sqrt{7}}{3}\)
C. \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)
D. \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Odpowiedź
**D.** \(\frac{\sqrt2}{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(A\) wierzchołek podstawy, z którego wychodzą obie przekątne ścian bocznych, a przez \(B'\) i \(D'\) ich drugie końce. Wtedy \(|AB'|=|AD'|=3\), a odcinek \(B'D'\) jest przekątną górnej podstawy — kwadratu o boku \(2\), więc
\[|B'D'|=2\sqrt2.\]
Trójkąt \(AB'D'\) jest równoramienny, a kąt \(\alpha\) leży przy jego wierzchołku \(A\). Wysokość opuszczona z \(A\) dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej \(3\) i przyprostokątnej \(\sqrt2\), przy czym kąt przy \(A\) w każdym z nich ma miarę \(\frac\alpha2\). Zatem
\[\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}3\), czyli wariant **D**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 21.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
