Ostrosłupy
Zadanie 24, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(\alpha\), że
\[\tan\alpha=3.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Wysokość tego ostrosłupa jest równa
**A.** \(3\)
**B.** \(6\)
**C.** \(6\sqrt2\)
**D.** \(12\)
Odpowiedź
**B.** \(6\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(S\) będzie wierzchołkiem ostrosłupa, \(O\) środkiem podstawy, a \(M\) środkiem jednego z boków podstawy. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kątem \(SMO\). Odcinek
\[|OM|=\frac42=2,\]
a \(|SO|=H\) jest wysokością ostrosłupa. Zatem
\[\tan\alpha=\frac{|SO|}{|OM|}=\frac{H}{2}.\]
Ponieważ \(\tan\alpha=3\), mamy
\[\frac{H}{2}=3,\qquad H=6.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.3) Zdający rozpoznaje w ostrosłupach kąty między ścianami.
X.5) Zdający oblicza objętości ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii.
