Liczby rzeczywiste
Zadanie 30.2, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(9\). Wierzchołki podstawy \(ABCD\) połączono odcinkami z punktem \(W\), który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy \(EFGH\). Otrzymano ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDW\).
**Zadanie \(30\).\(2\).**
Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. **Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(O\) będzie środkiem podstawy \(ABCD\), czyli spodkiem wysokości ostrosłupa. Wtedy \(|OW|=9\). Przekątna kwadratu podstawy ma długość \(9\sqrt2\), zatem
\[|AO|=\frac{9\sqrt2}{2}.\]
W trójkącie prostokątnym \(AOW\):
\[|AW|=\sqrt{|AO|^2+|OW|^2}=\sqrt{\frac{81}{2}+81}=\frac{9\sqrt6}{2}.\]
Kąt nachylenia krawędzi \(AW\) do płaszczyzny podstawy jest równy \(\alpha=\angle WAO\), więc
\[\cos\alpha=\frac{|AO|}{|AW|}=\frac{9\sqrt2/2}{9\sqrt6/2}=\frac{\sqrt3}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\)
**1 pkt** – obliczenie \(|AO|=\frac{9\sqrt2}{2}\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
X.2 i VII.1 posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz definicjami funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).
