Graniastosłupy
Zadanie 24, maj 2016, poziom podstawowy
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy. Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. \(30^{\circ}\)
B. \(45^{\circ}\)
C. \(60^{\circ}\)
D. \(75^{\circ}\)
Odpowiedź
**B.** \(45^{\circ}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(d\) długość przekątnej podstawy, a przez \(H\) wysokość graniastosłupa; z treści \(d=2H\).
Płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną \(AC\) podstawy i wierzchołek \(B'\) górnej podstawy. Rzutem \(B'\) na podstawę jest \(B\), a odległość \(B\) od prostej \(AC\) jest równa połowie drugiej przekątnej, czyli \(\frac d2\).
Kąt \(\alpha\) leży więc w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\) i \(\frac d2\):
\[\tan\alpha=\frac{H}{\frac d2}=\frac{H}{H}=1,\]
bo \(\frac d2=H\). Stąd \(\alpha=45^{\circ}\).
**Odpowiedź.** \(\alpha=45^{\circ}\), czyli wariant **B**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 24. (0−1)
Wersja Wersja
9. Stereometria. Zdający rozpoznaje
I. Wykorzystanie I II
w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między
i tworzenie informacji.
odcinkami i płaszczyznami (9.2).
B A
