Graniastosłupy
Zadanie 23, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się
w punkcie P (zobacz rysunek).
H G
E F
D C
P
A B
Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy
A. \(2\) B. \(1\) C. \(1\) D. \(2\)
\(2\) \(2\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis wariantów: **A.** \(\frac{\sqrt2}{2}\) **B.** \(\frac12\) **C.** \(1\) **D.** \(\sqrt2\).
Odczyt potwierdzony bezpośrednio z oryginalnego wycinka CKE dołączonego do zadania; w zapisie zastanym zachowały się liczniki 2, 1, 1, 2 i mianowniki 2, 2. Wariant D zgodny z kluczem CKE i z rachunkiem tg α = a / (a√2/2) = √2.
Odpowiedź
**D.** \(\sqrt2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem podstawy \(ABCD\), a wierzchołek \(H\) leży bezpośrednio nad \(D\), więc rzutem odcinka \(PH\) na płaszczyznę \(ABCD\) jest odcinek \(PD\).
Szukany kąt \(\alpha\) to kąt \(\angle HPD\) w trójkącie prostokątnym \(HDP\) o kącie prostym przy \(D\), w którym
\[|HD|=a,\qquad |PD|=\frac12|BD|=\frac{a\sqrt2}2.\]
Zatem
\[\tan\alpha=\frac{|HD|}{|PD|}=\frac{a}{\frac{a\sqrt2}2}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2.\]
**Odpowiedź.** \(\tan\alpha=\sqrt2\), czyli wariant **D**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 23.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
