Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, maj 2021, poziom podstawowy
Różnica \(0,(3) - \frac{23}{33}\) jest równa
A. −\(0\),(\(39\))
B. \(-\frac{39}{100}\)
C. −\(0\),\(36\)
D. \(-\frac{4}{11}\)
Odpowiedź
**D.** \(-\dfrac{4}{11}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zapis \(0,(3)\) oznacza ułamek okresowy \(0{,}3333\ldots\). Zanim cokolwiek odejmiemy, trzeba go zamienić na ułamek zwykły — dopiero wtedy obie liczby będą w tej samej postaci i będzie można sprowadzić je do wspólnego mianownika.
**Krok \(2\).** Zamieniamy ułamek okresowy. Niech \(x=0,(3)\). Wtedy \(10x=3,(3)\), więc
\[10x-x=3,(3)-0,(3)=3,\qquad 9x=3,\qquad x=\frac{3}{9}=\frac13.\]
**Krok \(3\).** Sprowadzamy \(\frac13\) i \(\frac{23}{33}\) do wspólnego mianownika. Ponieważ \(33=3\cdot11\), wystarczy rozszerzyć pierwszy ułamek przez \(11\):
\[\frac13=\frac{11}{33}.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy:
\[\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{11-23}{33}=\frac{-12}{33}.\]
**Krok \(5\).** Skracamy przez \(3\):
\[\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}.\]
**Krok \(6\).** Kontrola szacunkowa: \(0{,}333\ldots-0{,}697\ldots\approx-0{,}364\), a \(-\frac{4}{11}=-0{,}3636\ldots\). Zgadza się.
**Uwaga.** Odpowiedź C, czyli \(-0{,}36\), to liczba skończona i **nie** jest równa \(-\frac{4}{11}=-0,(36)\) — różnią się dalszymi cyframi rozwinięcia. Podobnie \(-0,(39)=-\frac{39}{99}=-\frac{13}{33}\) to zupełnie inna liczba.
**Odpowiedź.** D: \(-\dfrac{4}{11}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Egzamin maturalny z matematyki (poziom podstawowy) – termin główny 2021 r.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2021**
**Wymagania ogólne:**
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.1) Zdający przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego […]).
