Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Odpowiedź: A

1. Najpierw ustalamy, kogo dotyczy warunek. „Nie przewyższa $5000$ zł” znaczy co najwyżej $5000$ zł, więc grupa $5000$ zł wchodzi do rachunku.
2. Sumujemy trzy pierwsze słupki:
3. $\textcolor{#16A06A}{75} + \textcolor{#16A06A}{50} + \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#E0453A}{145}$ pracowników
4. Całością jest liczba wszystkich zatrudnionych, czyli $\textcolor{#16A06A}{160}$:
5. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{145}}{\textcolor{#16A06A}{160}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}90625} = \textcolor{#E0453A}{90{,}625\%}$
6. Treść każe zaokrąglić do jednego procenta, więc odpowiedzią jest $\textcolor{#E0453A}{91\%}$.
7. Odpowiedź: A.
8. Kontrola dopełnieniem: pracowników zarabiających więcej niż $5000$ zł jest $10 + 5 = 15$, czyli $\tfrac{15}{160} = 9{,}375\%$. Obie części muszą dać razem sto procent — i dają: $90{,}625 + 9{,}375 = 100$ ✓. To najszybszy sposób sprawdzenia takiego rachunku, a przy okazji odrzuca odpowiedź $D$ ($22\%$), która nie pasuje do żadnej z tych grup.

💡 Wskazówka: Przeczytaj warunek dwa razy: „nie przewyższa” to co najwyżej, więc próg $5000$ zł należy do grupy. Gdyby napisano „jest niższa niż $5000$ zł”, trzeba by policzyć tylko dwa pierwsze słupki i wyszłoby $\tfrac{125}{160} = 78\%$ — czyli dokładnie odpowiedź $B$. Cała różnica między $A$ a $B$ to jedno słowo w treści.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $78\%$ — z pominięcia grupy zarabiającej dokładnie $5000$ zł. To nie jest błąd rachunkowy, tylko czytania warunku: „nie przewyższa” obejmuje równość. Drugi błąd: odpowiedź $C$, czyli $53\%$ — z policzenia samej największej grupy $\tfrac{75}{160} = 47\%$ i pomylenia jej z dopełnieniem, albo z podzielenia przez niewłaściwą całość.

Odpowiedź: B

1. Pytanie brzmi „o ile procent obniżono”, więc liczymy o ile złotych cena spadła, a potem odnosimy tę kwotę do ceny sprzed obniżki.
2. Obniżka w złotych:
3. $\textcolor{#16A06A}{220} - \textcolor{#16A06A}{176} = \textcolor{#E0453A}{44}$ zł
4. Obniżka w procentach — dzielimy przez cenę początkową, bo to ona jest całością:
5. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{44}}{\textcolor{#16A06A}{220}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = \textcolor{#E0453A}{20\%}$
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola w przód: $220 \cdot 0{,}8 = 176$ zł ✓ — dokładnie cena z treści. Warto zauważyć, że w odpowiedziach czają się aż dwie liczby wprost z rachunku: $44$ to obniżka w złotych (odpowiedź $D$), a $80$ to procent ceny, który został (odpowiedź $A$). Zadanie sprawdza więc głównie to, czy wiadomo, o którą z tych trzech liczb chodzi.

💡 Wskazówka: Zapisz sobie obok siebie trzy liczby: obniżkę w złotych, procent, który został, i procent, o który obniżono. Wszystkie trzy pojawiają się w rachunku i wszystkie trzy bywają wśród odpowiedzi. Pytanie „o ile procent obniżono” dotyczy zawsze tej ostatniej — czyli ilorazu różnicy przez cenę wyjściową.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $44$ — podanie obniżki w złotych zamiast w procentach. Drugi błąd: odpowiedź $A$, czyli $80$ — policzenie $\tfrac{176}{220} = 80\%$, czyli tego, ile ceny zostało, a nie o ile ją obniżono. Trzeci wariant, odpowiedź $C$, to połowa obniżki w złotych — liczba wzięta wprost z rachunku, bez sensu procentowego. Osobny błąd rachunkowy to podzielenie różnicy przez cenę po obniżce zamiast przed: $\tfrac{44}{176} = 25\%$ — ten wynik nie trafia w żadną opcję, więc sam się ujawnia.

Odpowiedź: B

1. To zadanie o jednym rozróżnieniu i CKE sprawdza je regularnie: punkt procentowy to nie to samo co procent.
2. Obniżka „o $1$ punkt procentowy” oznacza, że prowizja spadła z $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ na $\textcolor{#E0453A}{3\%}$ — po prostu odejmujemy jeden od czterech.
3. Ale pytanie brzmi: o ile procent zmniejszyła się prowizja? Tu całością jest sama prowizja sprzed zmiany, czyli $\textcolor{#16A06A}{4\%}$, a zmianą — $\textcolor{#16A06A}{1}$ punkt:
4. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}25} = \textcolor{#E0453A}{25\%}$
5. Odpowiedź: B.
6. Kontrola na konkretnym kredycie: przy kredycie $200\,000$ zł prowizja styczniowa to $8000$ zł, a lutowa $6000$ zł. Spadek to $2000$ zł, czyli $\tfrac{2000}{8000} = 25\%$ ✓ — i wynik nie zależy od wysokości kredytu, bo obie prowizje liczy się od tej samej kwoty. Warto zauważyć, że gdyby prowizja spadła z $4\%$ na $3\%$ kredytu, ale zapytano „o ile punktów procentowych”, odpowiedzią byłby $1$ — czyli odpowiedź $A$.

💡 Wskazówka: Kiedy w treści pada „punkt procentowy”, zawsze chodzi o zwykłe odejmowanie procentów. Kiedy pada „o ile procent”, chodzi o iloraz zmiany przez wartość wyjściową. Te dwa pytania mają w tym zadaniu różne odpowiedzi — $1$ oraz $25$ — i obie są wśród opcji, więc trzeba dokładnie wiedzieć, o którą pyta zadanie.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $1\%$ — przepisanie „jednego punktu procentowego” jako „jednego procenta”. To najczęstszy błąd w tym typie zadania i dokładnie ta pomyłka, którą CKE tu sprawdza. Drugi błąd: odpowiedź $C$, czyli $33\%$ — z podzielenia zmiany przez prowizję po obniżce, $\tfrac{1}{3}$, zamiast przez tę sprzed. Przy pytaniu „o ile się zmniejszyła” mianownikiem jest zawsze wartość początkowa.

Odpowiedź: C

1. Stosunek nie mówi, ile kto wniósł w złotych — mówi tylko, w jakich proporcjach podzielony jest kapitał. Żeby dostać procent, trzeba znać całość, a całością jest suma wszystkich części.
2. Suma części:
3. $\textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{25}$
4. Największy inwestor ma $\textcolor{#16A06A}{12}$ z tych $\textcolor{#E0453A}{25}$ części:
5. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}48} = \textcolor{#E0453A}{48\%}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola: policzmy udziały wszystkich czterech wspólników i sprawdźmy, czy sumują się do stu procent. $\tfrac{12}{25} = 48\%$, $\tfrac{8}{25} = 32\%$, $\tfrac{3}{25} = 12\%$, $\tfrac{2}{25} = 8\%$. Razem: $48 + 32 + 12 + 8 = 100$ ✓. Zwróć uwagę, że trzy z czterech tych liczb pojawiają się wśród odpowiedzi — zadanie sprawdza więc głównie to, czy wiadomo, który wspólnik jest największy i przez co dzielić.
8. Kontrola liczbowa na przykładzie: gdyby kapitał wynosił $25\,000$ zł, to jedna część to $1000$ zł, a największy inwestor wniósłby $12\,000$ zł — czyli $48\%$ z dwudziestu pięciu tysięcy ✓.

💡 Wskazówka: Przy każdym stosunku pierwszy krok jest zawsze ten sam: zsumuj wszystkie części. Ta suma staje się mianownikiem i zwykle wychodzi wygodna liczba — tutaj $25$, przez którą dzieli się w pamięci, bo $\tfrac{1}{25} = 4\%$. Wtedy każdy udział liczy się jednym mnożeniem: $12 \cdot 4\% = 48\%$.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $12\%$ — przepisanie liczby ze stosunku jako procentu. Stosunek $12 : 8 : 3 : 2$ nie oznacza dwunastu procent; oznacza dwanaście części z dwudziestu pięciu. Drugi błąd: odpowiedź $D$, czyli $52\%$ — z podzielenia przez $23$ (sumę pozostałych plus coś) albo z policzenia dopełnienia do stu procent z błędnie wyliczonych $48\%$.

Odpowiedź: C

1. Treść nie podaje żadnej liczby uczniów — i nie musi, bo odpowiedź od niej nie zależy. Wprowadzamy oznaczenie i liczymy.
2. Niech dziewcząt będzie $\textcolor{#16A06A}{d}$. Wtedy chłopców jest $\textcolor{#16A06A}{4d}$, a wszystkich uczniów:
3. $\textcolor{#16A06A}{d} + \textcolor{#16A06A}{4d} = \textcolor{#E0453A}{5d}$
4. Dziewczęta stanowią więc:
5. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{d}}{\textcolor{#E0453A}{5d}} = \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{5}} = \textcolor{#E0453A}{20\%}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola na konkretnej klasie: gdyby dziewcząt było $5$, chłopców byłoby $20$, a razem $25$ uczniów. Dziewczęta to $\tfrac{5}{25} = 20\%$ ✓. Sprawdźmy jeszcze na innej liczebności, żeby upewnić się, że wynik nie zależy od wielkości klasy: przy $3$ dziewczętach i $12$ chłopcach mamy $\tfrac{3}{15} = 20\%$ ✓.
8. Warto od razu policzyć dopełnienie: chłopcy stanowią $\tfrac{4d}{5d} = 80\%$, a $20 + 80 = 100$ ✓.

💡 Wskazówka: Kiedy treść mówi tylko o stosunku, a nie o liczbach, wprowadź literę na mniejszą z wielkości — wtedy druga wyrazi się przez nią bez ułamków. Uważaj przy tym na całość: uczniów jest $5d$, a nie $4d$. Najczęstsza pomyłka w takich zadaniach polega na podzieleniu przez liczbę chłopców zamiast przez liczbę wszystkich uczniów.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $25\%$ — z podzielenia dziewcząt przez chłopców ($\tfrac{d}{4d}$) zamiast przez wszystkich uczniów. To rzeczywiście prawda, że dziewcząt jest cztery razy mniej niż chłopców, ale pytanie dotyczy udziału w całej klasie. Drugi błąd: odpowiedzi $A$ i $B$ — przepisanie liczby z treści ($4$) albo liczby części ($5$) wprost jako procentu.