Obliczanie liczby, gdy znasz jej procent

Odpowiedź: B

1. „Liczba $78$ stanowi $150\%$ liczby $c$” znaczy dokładnie tyle: gdy weźmiemy $150\%$ z $c$, dostaniemy $78$. Zapisujemy to równaniem.
2. $\textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot c = \textcolor{#16A06A}{78}$
3. $c = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{78}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{52}$
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola w przód: $150\%$ z $52$ to $1{,}5 \cdot 52 = 78$ ✓ — dokładnie liczba z treści.
6. Kontrola kierunkiem, bez rachunku: skoro $78$ to więcej niż całość liczby $c$ (bo $150\% > 100\%$), to $c$ musi być mniejsze od $78$. To odrzuca wszystko powyżej siedemdziesięciu ośmiu, ale tu akurat wszystkie odpowiedzi są mniejsze, więc trzeba policzyć. Warto natomiast oszacować: półtora raza więcej niż $50$ to $75$, więc szukana liczba jest odrobinę większa od pięćdziesiątki.

💡 Wskazówka: Zamień procent na liczbę, zanim cokolwiek policzysz: $150\%$ to $1{,}5$. Wtedy widać, że $78$ powstało przez pomnożenie przez $1{,}5$, więc żeby wrócić, trzeba podzielić. Dzielenie przez $1{,}5$ to to samo co mnożenie przez $\tfrac23$, co bywa wygodniejsze: $\tfrac23 \cdot 78 = 52$.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $39$ — z policzenia $50\%$ z $78$, czyli z potraktowania „stanowi $150\%$” jako „jest o połowę większa, więc szukam połowy”. Drugi błąd: odpowiedź $C$, czyli $48$ — za tą liczbą nie stoi żaden spójny rachunek. Obie pomyłki wychwytuje kontrola w przód: $1{,}5 \cdot 39 = 58{,}5$, a $1{,}5 \cdot 48 = 72$ — żadna nie daje $78$.

Odpowiedź: C

1. Warto przeczytać to zadanie obok poprzedniego — mają te same liczby i tę samą odpowiedź, a brzmią zupełnie inaczej.
2. „Liczba $78$ jest o $\textcolor{#16A06A}{50\%}$ większa od $c$” znaczy: do liczby $c$ dodano połowę liczby $c$, i wyszło $78$:
3. $c + \textcolor{#16A06A}{0{,}5} \cdot c = \textcolor{#16A06A}{78} \quad\Longrightarrow\quad \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot c = \textcolor{#16A06A}{78}$
4. $c = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{78}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{52}$
5. Odpowiedź: C.
6. To jest dokładnie to samo równanie co w zadaniu poprzednim: „stanowi $150\%$ liczby $c$” i „jest o $50\%$ większa od $c$” opisują tę samą zależność. Warto zapamiętać to przełożenie, bo CKE używa obu sformułowań wymiennie:
7. „o $p$ procent większa” $\iff$ „stanowi $(100 + p)$ procent”.
8. Kontrola w przód: $52 + 0{,}5 \cdot 52 = 52 + 26 = 78$ ✓.

💡 Wskazówka: Uważaj, od czego liczony jest procent: „o $50\%$ większa od $c$” to połowa liczby $c$, a nie połowa liczby $78$. To najczęstsze źródło pomyłek w tym typie zadania — procent zawsze odnosi się do wielkości wymienionej po słowie „od”.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $39$ — z odjęcia od $78$ jego własnej połowy. Wtedy liczy się procent od niewłaściwej liczby: gdyby $c$ było równe $39$, to $78$ byłoby od niego większe o $100\%$, a nie o $50\%$. Drugi błąd: odpowiedź $B$, czyli $48$ — z odjęcia od $78$ liczby $30$ albo z jakiegoś innego szacowania; kontrola w przód daje $48 \cdot 1{,}5 = 72$, więc od razu widać, że to nie to.

Odpowiedź: C

1. Po obniżce o $\textcolor{#16A06A}{15\%}$ zostaje $\textcolor{#E0453A}{85\%}$ ceny — i właśnie tyle wynosi $850$ zł. Zapisujemy to równaniem, gdzie $c$ to cena sprzed obniżki:
2. $\textcolor{#E0453A}{0{,}85} \cdot c = \textcolor{#16A06A}{850}$
3. $c = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{850}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}85}} = \textcolor{#E0453A}{1000}$ zł
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola w przód: $15\%$ z tysiąca to $150$ zł, więc po obniżce zostaje $1000 - 150 = 850$ zł ✓.
6. Warto zobaczyć, dlaczego odpowiedź $D$ jest tak kusząca. $977{,}50$ zł to $850$ zł powiększone o $15\%$ — czyli wynik odjęcia procentów zamiast dzielenia. Sprawdźmy ją w przód: $977{,}50 \cdot 0{,}85 \approx 830{,}88$ zł, a więc nie $850$ zł. Podwyżka o $15\%$ nie odwraca obniżki o $15\%$, bo obie liczone są od innych kwot.

💡 Wskazówka: Najpierw ustal, ile procent zostało — tu $85\%$ — a dopiero potem dziel. Liczba $850$ i procent $85$ wyglądają podobnie i to nie przypadek: dzielenie przez $0{,}85$ daje tu okrągły tysiąc, więc rachunek jest łatwiejszy, niż się wydaje. Jeśli utkniesz, sprawdź po prostu cztery odpowiedzi w przód.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $977{,}50$ zł — z dodania $15\%$ do ceny po obniżce zamiast podzielenia przez $0{,}85$. Drugi błąd: odpowiedź $A$, czyli $865$ zł — z dodania piętnastu złotych zamiast piętnastu procent. Obie znika po jednym sprawdzeniu w przód, które przy zadaniach odwrotnych powinno być odruchem.

Odpowiedź: C

1. Podwyżka o $\textcolor{#16A06A}{40\%}$ to mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{1{,}4}$, więc cena obecna to $\textcolor{#E0453A}{140\%}$ ceny sprzed podwyżki:
2. $\textcolor{#E0453A}{1{,}4} \cdot c = \textcolor{#16A06A}{106{,}40}$
3. $c = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{106{,}40}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}4}} = \textcolor{#E0453A}{76{,}00}$ zł
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola w przód: $40\%$ z $76$ zł to $30{,}40$ zł, więc po podwyżce cena wynosi $76 + 30{,}40 = 106{,}40$ zł ✓.
6. Kontrola oszacowaniem, przydatna, gdy nie chce się dzielić przez ułamek: skoro cena wzrosła o dwie piąte, to obecna cena jest siedem piątych dawnej. Siedem piątych ze stu to $140$. Nasza cena stanowi $106{,}40 : 140 = 0{,}76$ tej wartości, więc szukana liczba to $0{,}76$ ze stu, czyli $76$ zł — odpowiedź $C$. Pozostałe trzy leżą w przedziale $63$–$67$ zł, a więc wyraźnie za nisko: $1{,}4 \cdot 65 = 91$ zł, a nie $106$ zł.

💡 Wskazówka: Trzy z czterech odpowiedzi leżą blisko siebie ($63$–$67$ zł), a jedna odstaje. To zwykle znak, że te trzy powstały z różnych wariantów tego samego błędu — tutaj z odejmowania procentów zamiast dzielenia. Jedno sprawdzenie w przód dowolnej z nich wystarczy, żeby odrzucić całą trójkę naraz.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $63{,}84$ zł — z odjęcia $40\%$ od ceny obecnej: $106{,}40 \cdot 0{,}6$. To najczęstsza pomyłka w zadaniach o cenie sprzed podwyżki. Sprawdzenie w przód natychmiast ją obala: $63{,}84 \cdot 1{,}4 = 89{,}38$ zł. Drugi błąd: odpowiedź $D$, czyli $66{,}40$ zł — z odjęcia okrągłych czterdziestu złotych zamiast czterdziestu procent.

Odpowiedź: B

1. Zadanie dwuetapowe i to jest cała jego trudność: najpierw trzeba znaleźć cenę przed obniżką, a dopiero potem odpowiedzieć na pytanie, które dotyczy ceny po.
2. Krok pierwszy — cena początkowa. Kwota $\textcolor{#16A06A}{2018}$ zł to $\textcolor{#16A06A}{10\%}$ ceny wyjściowej:
3. $\textcolor{#16A06A}{0{,}1} \cdot c = \textcolor{#16A06A}{2018} \quad\Longrightarrow\quad c = \textcolor{#E0453A}{20\,180}$ zł
4. Krok drugi — cena po obniżce. Odejmujemy obniżkę od ceny początkowej:
5. $\textcolor{#E0453A}{20\,180} - \textcolor{#16A06A}{2018} = \textcolor{#E0453A}{18\,162}$ zł
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola w przód, dwoma sposobami. Po pierwsze, cena po obniżce to $90\%$ początkowej: $0{,}9 \cdot 20\,180 = 18\,162$ zł ✓. Po drugie, sprawdzamy, czy obniżka policzona od ceny wyjściowej rzeczywiście wynosi $10\%$: $\tfrac{2018}{20\,180} = 0{,}1$ ✓.
8. Zwróć uwagę, że odpowiedź $A$ to cena przed obniżką — czyli wynik pierwszego kroku. To najczęstsza pułapka w zadaniach dwuetapowych: pierwszy krok jest trudniejszy, więc jego wynik zostaje w pamięci jako odpowiedź.

💡 Wskazówka: Podkreśl w treści, o którą cenę pyta zadanie — po obniżce. Liczba $2018$ jest tu obniżką w złotych, a nie ceną, i to ona stanowi $10\%$ całości. Skoro to jedna dziesiąta, cenę początkową dostajesz przez pomnożenie przez dziesięć, co liczy się w pamięci.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $20\,180$ zł — podanie ceny sprzed obniżki zamiast po niej. Drugi błąd: odpowiedzi $C$ i $D$ — potraktowanie $2018$ zł jako ceny towaru, a nie jako obniżki, i doliczenie albo odliczenie od niej dziesięciu procent. Rząd wielkości od razu podpowiada, że coś jest nie tak: skoro sama obniżka wynosi $2018$ zł, to cena musi być od niej wyraźnie większa.

Odpowiedź: B

1. Trzeba wiedzieć, co jest całością: VAT dolicza się do ceny netto, więc to netto jest sto procent, a brutto — sto dwadzieścia trzy procent.
2. $\textcolor{#E0453A}{1{,}23} \cdot \text{netto} = \textcolor{#16A06A}{45\,018}$
3. $\text{netto} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{45\,018}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}23}} = \textcolor{#E0453A}{36\,600}$ zł
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola w przód: $23\%$ z $36\,600$ zł to $8418$ zł, a $36\,600 + 8418 = 45\,018$ zł ✓ dokładnie cena z treści.
6. Kontrola kierunkiem, która odrzuca dwie odpowiedzi bez rachunku: netto musi być mniejsze od brutto, więc odpowiedź $D$ ($55\,372{,}14$ zł) odpada od razu. A odpowiedź $C$ ($44\,995$ zł) jest mniejsza od brutto tylko o $23$ zł — to wygląda jak odjęcie dwudziestu trzech złotych zamiast dwudziestu trzech procent.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj kierunek: brutto $=$ netto $\times$ $1{,}23$, więc netto to brutto podzielone przez $1{,}23$. Podatek liczy się od ceny netto, nigdy od brutto — dlatego odjęcie $23\%$ od ceny brutto daje wynik zaniżony, a nie prawidłowy.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $34\,663{,}86$ zł — z odjęcia $23\%$ od ceny brutto: $45\,018 \cdot 0{,}77$. Sprawdzenie w przód pokazuje błąd natychmiast: $34\,663{,}86 \cdot 1{,}23 = 42\,636{,}55$ zł, a nie $45\,018$ zł. Drugi błąd: odpowiedź $D$ — z pomnożenia przez $1{,}23$ zamiast podzielenia, czyli z policzenia ceny brutto od brutto; wynik większy od podanej ceny brutto jest sprzeczny z samym pojęciem netto.