Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, maj 2012, poziom rozszerzony
Zdarzenia losowe \(A,B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz
\[P(A\cap B^{\prime})=0{,}7,\]
gdzie \(A^{\prime}\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\), a \(B^{\prime}\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(B\). Wykaż, że
\[P(A^{\prime}\cap B)\leq0{,}3.\]
Odpowiedź
Zdarzenia \(A\cap B^{\prime}\) i \(A^{\prime}\cap B\) są rozłączne, więc \(P\!\left((A\cap B^{\prime})\cup(A^{\prime}\cap B)\right)=0{,}7+P(A^{\prime}\cap B)\). Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe niż \(1\), zatem \(0{,}7+P(A^{\prime}\cap B)\leqslant1\), czyli \(P(A^{\prime}\cap B)\leqslant0{,}3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy udowodnić nierówność dotyczącą prawdopodobieństwa, a jedyna dana to \(P(A\cap B^{\prime})=0{,}7\). Skoro po lewej stronie tezy stoi inne zdarzenie, potrzebny jest związek między nimi. Naturalny pomysł: zbadać, czy zdarzenia \(A\cap B^{\prime}\) i \(A^{\prime}\cap B\) mogą zajść jednocześnie, i skorzystać z tego, że prawdopodobieństwo żadnego zdarzenia nie przekracza \(1\).
**Krok \(2\).** Zdarzenia \(A\cap B^{\prime}\) oraz \(A^{\prime}\cap B\) są rozłączne. Istotnie, wynik należący do pierwszego z nich należy do \(A\), a wynik należący do drugiego należy do \(A^{\prime}\), czyli do \(A\) nie należy. Żaden wynik nie spełnia obu warunków naraz, zatem
\[\left(A\cap B^{\prime}\right)\cap\left(A^{\prime}\cap B\right)=\varnothing.\]
**Krok \(3\).** Dla zdarzeń rozłącznych prawdopodobieństwo sumy jest sumą prawdopodobieństw:
\[P\!\left(\left(A\cap B^{\prime}\right)\cup\left(A^{\prime}\cap B\right)\right)=P\!\left(A\cap B^{\prime}\right)+P\!\left(A^{\prime}\cap B\right).\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy daną z treści:
\[P\!\left(\left(A\cap B^{\prime}\right)\cup\left(A^{\prime}\cap B\right)\right)=0{,}7+P\!\left(A^{\prime}\cap B\right).\]
**Krok \(5\).** Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe niż \(1\), więc
\[0{,}7+P\!\left(A^{\prime}\cap B\right)\leqslant1.\]
**Krok \(6\).** Odejmujemy \(0{,}7\) od obu stron:
\[P\!\left(A^{\prime}\cap B\right)\leqslant0{,}3,\]
co należało wykazać.
**Uwaga.** Kluczowe jest stwierdzenie rozłączności w kroku \(2\). Bez niego wzór z kroku \(3\) nie zachodzi (dla dowolnych zdarzeń prawdopodobieństwo sumy jest tylko nie większe od sumy prawdopodobieństw) i dowód byłby niepełny.
**Odpowiedź.** Zdarzenia \(A\cap B^{\prime}\) i \(A^{\prime}\cap B\) są rozłączne, więc \(0{,}7+P(A^{\prime}\cap B)\leqslant1\), czyli \(P(A^{\prime}\cap B)\leqslant0{,}3\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania*
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający zauważy, że zdarzenia \(A\cap B'\) oraz \(A'\cap B\) są rozłączne.
**2 pkt** – zdający zapisze, że \(1\ge P\left(\left(A\cap B'\right)\cup\left(A'\cap B\right)\right)=P\left(A\cap B'\right)+P\left(A'\cap B\right)\).
**3 pkt** – zdający przeprowadzi pełny dowód.
Uwaga: jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są rozłączne, to otrzymuje \(2\) punkty.
*Schemat oceniania II sposobu rozwiązania*
**1 pkt** – zapisanie, że \(\left(A\cap B'\right)\subset B'\). Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań.
**2 pkt** – zapisanie, że \(\left(A'\cap B\right)\subset B\) oraz że \(P(B)\le 0{,}3\). Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z pozostałych zapisów.
**3 pkt** – zapisanie wniosku: \(P\left(A'\cap B\right)\le 0{,}3\).
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. (V.10.c.d)
