Ostrosłupy
Zadanie 34, sierpień 2013, poziom podstawowy
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Odpowiedź
\[\tan\alpha=\frac{\sqrt3}{9}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\) wynosi \(r=\frac{a\sqrt3}6\). Z warunku \(r=2\) otrzymujemy \(a=4\sqrt3\), więc
\[P_p=\frac{a^{2}\sqrt3}4=\frac{48\sqrt3}4=12\sqrt3.\]
Z objętości wyznaczamy wysokość ostrosłupa:
\[\frac13\cdot12\sqrt3\cdot H=72\quad\Longrightarrow\quad H=\frac{72}{4\sqrt3}=6\sqrt3.\]
Niech \(M\) będzie środkiem krawędzi podstawy, a \(O\) — spodkiem wysokości. Płaszczyzna \(SOM\) jest prostopadła do ściany bocznej, więc rzutem wysokości \(SO\) na tę ścianę jest odcinek \(SM\), a szukany kąt to \(\angle OSM\) w trójkącie prostokątnym \(SOM\) o kącie prostym przy \(O\).
Ponieważ \(|OM|=r=2\), otrzymujemy
\[\tan\alpha=\frac{|OM|}{|SO|}=\frac{2}{6\sqrt3}=\frac1{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3}9.\]
**Odpowiedź.** \(\tan\alpha=\frac{\sqrt3}9\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – bok podstawy \(4\sqrt{3}\) i wysokość ostrosłupa \(6\sqrt{3}\).
**4 pkt** – \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{\sqrt{3}}{9}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 34. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
