Ostrosłupy
Zadanie 34, lipiec 2020, poziom podstawowy
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, którego krawędź podstawy ma długość \(8\), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(P\) środek sześciokąta foremnego w podstawie, przez \(R\) środek jednej z jego krawędzi \(AB\), a przez \(S\) wierzchołek ostrosłupa. Wtedy
\[|PR|=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3.\]
Kąt między ścianą boczną a podstawą jest kątem \(SRP\) i ma miarę \(60^\circ\). W trójkącie prostokątnym \(SPR\):
\[\cos60^\circ=\frac{|PR|}{|SR|},\]
więc
\[|SR|=\frac{4\sqrt3}{1/2}=8\sqrt3.\]
Punkt \(R\) jest środkiem boku \(AB\), zatem \(|RB|=4\). W trójkącie prostokątnym \(SRB\):
\[|SB|=\sqrt{|SR|^2+|RB|^2}=\sqrt{(8\sqrt3)^2+4^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}.\]
Rzutem krawędzi \(SB\) na płaszczyznę podstawy jest odcinek \(PB\). W sześciokącie foremnym \(|PB|=8\). Jeśli \(\beta\) oznacza kąt między krawędzią boczną a podstawą, to
\[\cos\beta=\frac{|PB|}{|SB|}=\frac8{4\sqrt{13}}=\frac2{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)
**4 pkt** – pełne rozwiązanie z drobną usterką rachunkową lub w zapisie
**3 pkt** – obliczenie długości krawędzi bocznej \(|SB|=4\sqrt{13}\) albo zapisanie równoważnej zależności trygonometrycznej prowadzącej do wyniku
**2 pkt** – obliczenie wysokości ściany bocznej \(|SR|=8\sqrt3\) albo wysokości ostrosłupa \(12\)
**1 pkt** – poprawne zaznaczenie kąta nachylenia ściany do podstawy albo obliczenie \(|PR|=4\sqrt3\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.6 stosowanie trygonometrii w obliczeniach stereometrycznych.
