Strona główna › Geometria płaska › Trójkąt › Trójkąt ostrokątny

Trójkąt ostrokątny

Trójkąt ostrokątny to trójkąt, w którym wszystkie trzy kąty są ostre — każdy mniejszy od 90∘90^\circ. Rozpoznasz go nawet bez kątomierza: jeśli kwadrat najdłuższego boku jest mniejszy od sumy kwadratów dwóch pozostałych, trójkąt jest ostrokątny. W takim trójkącie wszystkie wysokości i środek okręgu opisanego leżą wewnątrz figury.

Dział: Geometria płaskaPoziom: klasy 4–8 i liceum

Krótko: trójkąt ostrokątny   ⟺  \iff c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2 (cc — najdłuższy bok). Pole: P=12absin⁡γP = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma. Przykład: boki 5,6,75, 6, 7: 49<25+36=6149 < 25 + 36 = 61, więc trójkąt jest ostrokątny.

Kalkulator: jaki to trójkąt?

1Definicja i kąty

Ze względu na kąty trójkąty dzielimy na trzy rodzaje. Trójkąt ostrokątny to ten, w którym największy kąt jest ostry, czyli γ<90∘\gamma < 90^\circ — wtedy pozostałe dwa też są ostre. Szerzej o podziałach trójkątów: trójkąt.

rodzajnajwiększy kątzależność boków (cc najdłuższy)
ostrokątnymniejszy od 90∘90^\circc2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2
prostokątnyrówny 90∘90^\circc2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
rozwartokątnywiększy od 90∘90^\circc2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2

Każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre, bo suma kątów to 180∘180^\circ. Dlatego o rodzaju decyduje tylko trzeci, największy kąt — leży on naprzeciw najdłuższego boku.

Rodzaje trójkątów ze względu na boki i kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny, równoboczny, równoramienny, różnoboczny
Rodzaje trójkątów — ostrokątny ma wszystkie kąty mniejsze od kąta prostego

2Jak rozpoznać trójkąt ostrokątny po bokach

Nie trzeba mierzyć kątów. Wystarczą długości boków:

  1. Wybierz najdłuższy bok i nazwij go cc — naprzeciw niego leży największy kąt.
  2. Policz c2c^2 oraz a2+b2a^2 + b^2.
  3. Jeśli c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2, największy kąt jest ostry, więc cały trójkąt jest ostrokątny.

Skąd ta reguła? Z twierdzenia cosinusów: c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma. Dla kąta ostrego cos⁡γ>0\cos\gamma > 0, więc od a2+b2a^2 + b^2 odejmujemy liczbę dodatnią i c2c^2 wychodzi mniejsze. Gdy γ=90∘\gamma = 90^\circ, dostajemy twierdzenie Pitagorasa.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Ostrokątny a równoboczny, równoramienny i różnoboczny

Podział ze względu na kąty i podział ze względu na boki się przecinają:

4Wysokości i okręgi wewnątrz

Trójkąt ostrokątny jest pod tym względem najprostszy — wszystkie ważne punkty leżą w środku figury:

Promienie liczymy jak zwykle: R=abc4PR = \dfrac{abc}{4P} oraz r=2Pa+b+cr = \dfrac{2P}{a + b + c}.

5Pole trójkąta ostrokątnego

danewzór
bok i wysokość na ten bokP=a⋅ha2P = \dfrac{a \cdot h_a}{2}
dwa boki i kąt między nimiP=12absin⁡γP = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma
trzy bokiP=p(p−a)(p−b)(p−c)P = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, p=a+b+c2p = \dfrac{a + b + c}{2}

W trójkącie ostrokątnym każda wysokość pada na sam bok, więc wzór z wysokością można stosować do dowolnego boku bez przedłużania. Więcej wzorów: wzory na pole trójkąta.

6Przykłady krok po kroku

Przykład 11 Rozpoznawanie po bokach

Czy trójkąt o bokach 66, 88 i 99 jest ostrokątny?

  1. Najdłuższy bok: c=9c = 9, c2=81c^2 = 81.
  2. a2+b2=36+64=100a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100.
  3. 81<10081 < 100, więc kąt naprzeciw boku 99 jest ostry.

Odpowiedź: tak, trójkąt jest ostrokątny.

Przykład 22 Rozpoznawanie po kątach

Dwa kąty trójkąta mają 50∘50^\circ i 60∘60^\circ. Jaki to trójkąt?

  1. Trzeci kąt: 180∘−50∘−60∘=70∘180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ.
  2. Największy kąt to 70∘<90∘70^\circ < 90^\circ.

Odpowiedź: trójkąt ostrokątny.

Przykład 33 Pole ze wzoru Herona

Oblicz pole trójkąta o bokach 55, 66 i 77 cm.

  1. p=5+6+72=9p = \tfrac{5 + 6 + 7}{2} = 9.
  2. P=9⋅4⋅3⋅2=216=66P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}.

Odpowiedź: P=66≈14,7P = 6\sqrt{6} \approx 14{,}7 cm².

Przykład 44 Zadanie z parametrem (liceum)

Boki trójkąta mają długości 33, 44 i xx, gdzie x≥4x \geq 4. Dla jakich xx trójkąt jest ostrokątny?

  1. Najdłuższy bok to xx, więc warunek: x2<32+42=25x^2 < 3^2 + 4^2 = 25, czyli x<5x < 5.
  2. Trójkąt istnieje, bo x<3+4=7x < 3 + 4 = 7.
  3. Łącznie: 4≤x<54 \leq x < 5. Dla x=5x = 5 trójkąt jest już prostokątny.

Odpowiedź: x∈⟨4;5)x \in \langle 4; 5).

7Najczęstsze błędy

„Ma kąt ostry, więc jest ostrokątny”.

Skąd się bierze: Nazwa sugeruje, że wystarczy jeden kąt ostry.

Jak zrobić dobrze: Każdy trójkąt ma dwa kąty ostre. Sprawdź największy kąt — wszystkie trzy muszą być mniejsze od 90∘90^\circ.

Porównywanie nie tego boku.

Skąd się bierze: W zadaniu boki są podane w przypadkowej kolejności.

Jak zrobić dobrze: W regule c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2 za cc bierz zawsze najdłuższy bok.

Odwrócony znak nierówności.

Skąd się bierze: Pomylenie reguł dla trójkąta ostrokątnego i rozwartokątnego.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj: kąt prosty to równość z Pitagorasa, kąt ostry — najdłuższy bok jest „za krótki” na kąt prosty, czyli c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2.

Brak sprawdzenia nierówności trójkąta.

Skąd się bierze: Liczy się od razu kwadraty boków.

Jak zrobić dobrze: Najpierw sprawdź, czy trójkąt w ogóle istnieje: najdłuższy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest trójkąt ostrokątny?

To trójkąt, w którym wszystkie trzy kąty są ostre, czyli każdy jest mniejszy od 90°.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest ostrokątny, znając boki?

Weź najdłuższy bok c. Jeśli c² < a² + b², trójkąt jest ostrokątny; jeśli c² = a² + b² — prostokątny; jeśli c² > a² + b² — rozwartokątny.

Czy trójkąt równoboczny jest ostrokątny?

Tak. Każdy trójkąt równoboczny ma trzy kąty po 60°, więc zawsze jest ostrokątny.

Czy trójkąt ostrokątny może być różnoboczny?

Tak, na przykład trójkąt o bokach 5, 6 i 7: 7² = 49, a 5² + 6² = 61, więc 49 < 61. Ma trzy różne boki i trzy kąty ostre.

Gdzie leżą wysokości trójkąta ostrokątnego?

Wszystkie trzy wysokości leżą wewnątrz trójkąta, więc ich punkt przecięcia (ortocentrum) też jest w środku figury.

Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym?

Wewnątrz trójkąta. Środek okręgu wpisanego też leży wewnątrz — on jest w środku w każdym trójkącie.

Czy wystarczy, że jeden kąt trójkąta jest ostry?

Nie. Każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre. O tym, czy trójkąt jest ostrokątny, decyduje największy kąt — musi być mniejszy od 90°.

Czytaj dalej

TrójkątPodział ze względu na boki i kąty, suma kątów.Trójkąt rozwartokątnyJeden kąt rozwarty, wysokości poza trójkątem.Trójkąt prostokątnyTwierdzenie Pitagorasa i funkcje trygonometryczne.Wzory na pole trójkątaZ wysokością, z sinusem i wzór Herona.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-07