Strona główna › Geometria płaska › Trójkąt › Trójkąt rozwartokątny

Trójkąt rozwartokątny

Trójkąt rozwartokątny to trójkąt, który ma jeden kąt rozwarty — większy od 90∘90^\circ — i dwa kąty ostre. Rozpoznasz go nawet bez kątomierza: jeśli kwadrat najdłuższego boku jest większy od sumy kwadratów dwóch pozostałych, trójkąt jest rozwartokątny. W takim trójkącie dwie wysokości i środek okręgu opisanego wychodzą poza figurę.

Dział: Geometria płaskaPoziom: klasy 4–8 i liceum

Krótko: kąt γ\gamma rozwarty   ⟺  \iff c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2 (cc — najdłuższy bok). Pole: P=12absin⁡γP = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma. Przykład: boki 4,5,74, 5, 7: 49>16+25=4149 > 16 + 25 = 41, więc trójkąt jest rozwartokątny.

Kalkulator: jaki to trójkąt?

1Definicja i kąty

Ze względu na kąty trójkąty dzielimy na trzy rodzaje. Trójkąt rozwartokątny to ten, który ma kąt rozwarty, czyli 90∘<γ<180∘90^\circ < \gamma < 180^\circ. Szerzej o podziałach trójkątów: trójkąt.

rodzajnajwiększy kątzależność boków (cc najdłuższy)
ostrokątnymniejszy od 90∘90^\circc2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2
prostokątnyrówny 90∘90^\circc2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
rozwartokątnywiększy od 90∘90^\circc2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2

Kąt rozwarty może być tylko jeden: suma kątów trójkąta to 180∘180^\circ, więc dwa kąty po ponad 90∘90^\circ to już za dużo. Dwa pozostałe kąty są ostre i razem mają mniej niż 90∘90^\circ.

Rodzaje trójkątów ze względu na boki i kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny, równoboczny, równoramienny, różnoboczny
Rodzaje trójkątów — rozwartokątny ma jeden kąt większy od kąta prostego

2Jak rozpoznać trójkąt rozwartokątny po bokach

Nie trzeba mierzyć kątów. Wystarczą długości boków:

  1. Wybierz najdłuższy bok i nazwij go cc — naprzeciw niego leży największy kąt.
  2. Policz c2c^2 oraz a2+b2a^2 + b^2.
  3. Jeśli c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2, największy kąt jest rozwarty.

Skąd ta reguła? Z twierdzenia cosinusów: c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma. Dla kąta rozwartego cos⁡γ<0\cos\gamma < 0, więc odejmujemy liczbę ujemną i c2c^2 wychodzi większe od a2+b2a^2 + b^2. Gdy γ=90∘\gamma = 90^\circ, dostajemy twierdzenie Pitagorasa.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Wysokości poza trójkątem

W trójkącie rozwartokątnym tylko wysokość opuszczona na najdłuższy bok leży wewnątrz figury. Dwie pozostałe opadają na przedłużenia boków przy kącie rozwartym — trzeba je dorysować poza trójkątem. Także punkt przecięcia wysokości (ortocentrum) leży poza trójkątem.

To częsta pułapka na sprawdzianach: wysokość nadal jest odcinkiem prostopadłym do prostej zawierającej bok, tylko spodek wysokości wypada poza samym bokiem.

4Okrąg opisany i wpisany

Promień okręgu opisanego liczymy jak zwykle: R=abc4PR = \dfrac{abc}{4P}.

5Pole trójkąta rozwartokątnego

danewzór
bok i wysokość na ten bokP=a⋅ha2P = \dfrac{a \cdot h_a}{2}
dwa boki i kąt między nimiP=12absin⁡γP = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma
trzy bokiP=p(p−a)(p−b)(p−c)P = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, p=a+b+c2p = \dfrac{a + b + c}{2}

Dla kąta rozwartego sin⁡γ=sin⁡(180∘−γ)\sin\gamma = \sin(180^\circ - \gamma), np. sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}. Więcej wzorów: wzory na pole trójkąta.

6Przykłady krok po kroku

Przykład 11 Rozpoznawanie po bokach

Czy trójkąt o bokach 44, 55 i 77 jest rozwartokątny?

  1. Najdłuższy bok: c=7c = 7, c2=49c^2 = 49.
  2. a2+b2=16+25=41a^2 + b^2 = 16 + 25 = 41.
  3. 49>4149 > 41, więc kąt naprzeciw boku 77 jest rozwarty.

Odpowiedź: tak, trójkąt jest rozwartokątny.

Przykład 22 Rozpoznawanie po kątach

Dwa kąty trójkąta mają 30∘30^\circ i 40∘40^\circ. Jaki to trójkąt?

  1. Trzeci kąt: 180∘−30∘−40∘=110∘180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ.
  2. 110∘>90∘110^\circ > 90^\circ — kąt rozwarty.

Odpowiedź: trójkąt rozwartokątny.

Przykład 33 Pole z dwóch boków i kąta

Dwa boki trójkąta mają 66 cm i 88 cm, a kąt między nimi 150∘150^\circ. Oblicz pole.

  1. sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.
  2. P=12⋅6⋅8⋅12=12P = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \tfrac{1}{2} = 12.

Odpowiedź: P=12P = 12 cm².

Przykład 44 Wysokość poza trójkątem

Trójkąt ma boki 44, 55 i 77 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na bok długości 44 cm.

  1. Wzór Herona: p=8p = 8, P=8⋅4⋅3⋅1=96=46P = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} cm².
  2. h=2P4=26≈4,9h = \tfrac{2P}{4} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}9 cm.
  3. Bok 44 przylega do kąta rozwartego, więc ta wysokość leży poza trójkątem — na przedłużeniu boku.

Odpowiedź: h=26≈4,9h = 2\sqrt{6} \approx 4{,}9 cm.

7Najczęstsze błędy

Porównywanie nie tego boku.

Skąd się bierze: W zadaniu boki są podane w przypadkowej kolejności.

Jak zrobić dobrze: Do reguły c2c^2 porównaj z a2+b2a^2 + b^2 zawsze najdłuższy bok.

Wysokość „w środku” trójkąta.

Skąd się bierze: Nawyk z trójkątów ostrokątnych.

Jak zrobić dobrze: Przedłuż bok i opuść na niego prostopadłą — dwie wysokości trójkąta rozwartokątnego leżą na zewnątrz.

Ujemny sinus kąta rozwartego.

Skąd się bierze: Pomylenie z cosinusem, który dla kąta rozwartego jest ujemny.

Jak zrobić dobrze: Sinus kąta od 0∘0^\circ do 180∘180^\circ jest dodatni: sin⁡γ=sin⁡(180∘−γ)\sin\gamma = \sin(180^\circ - \gamma).

Brak sprawdzenia nierówności trójkąta.

Skąd się bierze: Liczy się od razu kwadraty boków.

Jak zrobić dobrze: Najpierw sprawdź, czy trójkąt w ogóle istnieje: najdłuższy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest trójkąt rozwartokątny?

To trójkąt, który ma jeden kąt rozwarty, czyli większy od 90° i mniejszy od 180°. Dwa pozostałe kąty są ostre.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest rozwartokątny, znając boki?

Weź najdłuższy bok c. Jeśli c² > a² + b², trójkąt jest rozwartokątny; jeśli c² = a² + b² — prostokątny; jeśli c² < a² + b² — ostrokątny.

Ile kątów rozwartych może mieć trójkąt?

Tylko jeden. Suma kątów trójkąta to 180°, a dwa kąty rozwarte dałyby razem ponad 180°.

Gdzie leżą wysokości trójkąta rozwartokątnego?

Wysokość opuszczona na najdłuższy bok leży wewnątrz trójkąta, a dwie pozostałe — poza nim, na przedłużeniach boków. Punkt przecięcia wysokości też leży poza trójkątem.

Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym?

Poza trójkątem, po przeciwnej stronie najdłuższego boku niż kąt rozwarty. Środek okręgu wpisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta.

Czy trójkąt rozwartokątny może być równoramienny?

Tak — gdy kąt rozwarty leży między ramionami, na przykład trójkąt o kątach 120°, 30° i 30°. Nie może być równoboczny, bo trójkąt równoboczny ma trzy kąty po 60°.

Jak obliczyć pole trójkąta rozwartokątnego?

Tak jak każdego trójkąta: P = a · h : 2, P = ½ · a · b · sin γ albo wzorem Herona. Przy wzorze z wysokością pamiętaj, że wysokość może leżeć poza trójkątem.

Czytaj dalej

TrójkątPodział ze względu na boki i kąty, suma kątów.Trójkąt prostokątnyTwierdzenie Pitagorasa i funkcje trygonometryczne.Twierdzenie cosinusówSkąd reguła c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2.Wzory na pole trójkątaZ wysokością, z sinusem i wzór Herona.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-07