Strona główna › Geometria płaska › Przekątna kwadratu
Przekątna kwadratu
Przekątna kwadratu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki. Ma długość d = a√2, gdzie a to bok kwadratu — czyli około 1,41 razy więcej niż bok.
Krótko: Przekątna kwadratu o boku a ma długość d = a√2 ≈ 1,414 · a. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym równoramiennym: d² = a² + a² = 2a².
1Skąd się bierze wzór d = a√2
Przekątna dzieli kwadrat na dwa jednakowe trójkąty prostokątne. Ich przyprostokątnymi są dwa sąsiednie boki kwadratu, a przeciwprostokątną — właśnie przekątna.
Z twierdzenia Pitagorasa: d² = a² + a² = 2a², więc d = √2a² = a√2. Liczba √2 ≈ 1,414 jest niewymierna, dlatego w zadaniach zwykle zostawia się wynik w postaci a√2.
2Przekątna, bok i pole — trzy wzory
Wzór działa w obie strony. Znając przekątną, możesz policzyć bok i pole:
| szukamy | wzór | przykład |
|---|---|---|
| przekątna z boku | d = a√2 | a = 5 → d = 5√2 ≈ 7,07 |
| bok z przekątnej | a = d√2 = d√22 | d = 10 → a = 5√2 ≈ 7,07 |
| pole z przekątnej | P = d²2 | d = 10 → P = 50 |
Dla kilku boków: a = 1 → d ≈ 1,41; a = 2 → d ≈ 2,83; a = 5 → d ≈ 7,07; a = 10 → d ≈ 14,14.
3Własności przekątnych kwadratu
Obie przekątne kwadratu są równe, przecinają się pod kątem prostym, dzielą się na połowy i dzielą kąty kwadratu na dwa kąty po 45°. Dlatego kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Przekątna z boku
Bok kwadratu ma 6 cm. Oblicz długość przekątnej.
- Podstawiam do wzoru d = a√2.
- d = 6√2 ≈ 6 · 1,414 = 8,49 cm.
Odpowiedź: d = 6√2 cm ≈ 8,49 cm
Przykład 2 Bok i pole z przekątnej
Przekątna kwadratu ma 10 cm. Oblicz bok i pole.
- Bok: a = d√2 = 10√2 = 5√2 ≈ 7,07 cm.
- Pole: P = d²2 = 1002 = 50 cm².
- Sprawdzenie: a² = (5√2)² = 25 · 2 = 50.
Odpowiedź: a = 5√2 cm ≈ 7,07 cm, P = 50 cm²
Przykład 3 Obwód z przekątnej
Przekątna kwadratu to 4√2. Jaki jest jego obwód?
- Bok: a = d√2 = 4√2√2 = 4.
- Obwód: Ob = 4a = 4 · 4 = 16.
Odpowiedź: Ob = 16
5Najczęstsze błędy
d = 2a
Skąd się bierze: Przekątna wygląda na „dwa razy dłuższą”, bo biegnie przez środek.
Jak zrobić dobrze: Przekątna jest dłuższa od boku tylko o około 41%: d = a√2 ≈ 1,41a. Jest krótsza niż dwa boki razem (2a).
Przekątna = a²
Skąd się bierze: Wzór na pole (a²) miesza się ze wzorem na przekątną.
Jak zrobić dobrze: Pole kwadratu to a², a przekątna to a√2. Zawsze sprawdź, o co pyta zadanie: o długość (cm) czy o pole (cm²).
Zaokrąglanie √2 za wcześnie
Skąd się bierze: Zamiana na 1,4 w połowie rachunku daje niedokładny wynik.
Jak zrobić dobrze: Zostaw √2 do końca i zaokrąglij dopiero odpowiedź końcową.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Bok kwadratu ma 3. Ile wynosi przekątna?
d = a√2 = 3√2 ≈ 4,24.
2. Przekątna kwadratu to 8√2. Ile wynosi bok?
a = d√2 = 8.
3. Przekątna kwadratu ma 6. Jakie jest pole?
P = d²2 = 362 = 18.
4. Bok kwadratu ma 10 cm. Przekątna wynosi w przybliżeniu:
10√2 ≈ 14,14 cm.
5. Czy przekątne kwadratu są prostopadłe?
Tak: przekątne kwadratu (i rombu) przecinają się pod kątem prostym.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Twierdzenie Pitagorasa” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jak obliczyć przekątną kwadratu?
Pomnóż bok przez √2: d = a√2. Na przykład dla boku 4 przekątna wynosi 4√2 ≈ 5,66.
Ile razy przekątna jest dłuższa od boku?
Około 1,41 razy, bo d : a = √2 ≈ 1,414.
Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znam przekątną?
Podziel przekątną przez √2: a = d√2 = d√22.
Czy przekątne kwadratu są równe?
Tak. Są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
