Logarytmy

Definicja

• $\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rC}{b} = \htmlClass{rN}{c} \iff \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rN}{c}} = \htmlClass{rC}{b}$
• $\htmlClass{rZ}{a}^{\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rC}{b}} = \htmlClass{rC}{b}$

Podstawa a > 0 i a ≠ 1, liczba logarytmowana b > 0. Logarytm to wykładnik c, do którego trzeba podnieść podstawę a, żeby otrzymać b.

Działania

• $\log_{\htmlClass{rZ}{a}}(\htmlClass{rY}{x} \cdot \htmlClass{rF}{y}) = \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x} + \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rF}{y}$
• $\log_{\htmlClass{rZ}{a}}\left(\dfrac{\htmlClass{rY}{x}}{\htmlClass{rF}{y}}\right) = \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x} - \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rF}{y}$
• $\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x}^{\htmlClass{rC}{r}} = \htmlClass{rC}{r} \cdot \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x}$

Dla x > 0, y > 0 oraz dowolnego rzeczywistego r.

Zamiana podstawy

• $\log_{\htmlClass{rZ}{b}} \htmlClass{rC}{c} = \dfrac{\log_{\htmlClass{rF}{a}} \htmlClass{rC}{c}}{\log_{\htmlClass{rF}{a}} \htmlClass{rZ}{b}}$
• $\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rC}{b} = \dfrac{1}{\log_{\htmlClass{rC}{b}} \htmlClass{rZ}{a}}$

Warunki: a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 oraz c > 0. W pierwszym wzorze b jest podstawą wyjściową, więc jest zielone, a nowa podstawa a dostała fiolet — gdyby obie były zielone, wyglądałyby na tę samą liczbę. W drugim kolory zostają przy literach, dzięki czemu widać, że podstawy zamieniają się miejscami.

Logarytm dziesiętny

• $\log x = \lg x = \log_{10} x$

Oba zapisy oznaczają to samo.

Dalej

• Potęgi i pierwiastki
• Silnia. Współczynnik dwumianowy
• Wszystkie działy