Logarytmy

Logarytmy

Logarytm to pytanie „do której potęgi podnieść podstawę”. Podstawa jest zawsze zielona, odpowiedź — niebieska.

■

podstawa, pierwsza wielkość

■

pierwszy wykładnik, liczba logarytmowana

■

drugi wykładnik, wynik logarytmu, promień

■

pierwszy argument

■

drugi argument, odległość

Definicja

\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rC}{b} = \htmlClass{rN}{c} \iff \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rN}{c}} = \htmlClass{rC}{b}

\htmlClass{rZ}{a}^{\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rC}{b}} = \htmlClass{rC}{b}

Podstawa a > 0 i a ≠ 1, liczba logarytmowana b > 0. Logarytm to wykładnik c, do którego trzeba podnieść podstawę a, żeby otrzymać b.

Działania

\log_{\htmlClass{rZ}{a}}(\htmlClass{rY}{x} \cdot \htmlClass{rF}{y}) = \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x} + \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rF}{y}

\log_{\htmlClass{rZ}{a}}\left(\dfrac{\htmlClass{rY}{x}}{\htmlClass{rF}{y}}\right) = \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x} - \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rF}{y}

\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x}^{\htmlClass{rC}{r}} = \htmlClass{rC}{r} \cdot \log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rY}{x}

Dla x > 0, y > 0 oraz dowolnego rzeczywistego r.

Zamiana podstawy

\log_{\htmlClass{rZ}{b}} \htmlClass{rC}{c} = \dfrac{\log_{\htmlClass{rF}{a}} \htmlClass{rC}{c}}{\log_{\htmlClass{rF}{a}} \htmlClass{rZ}{b}}

\log_{\htmlClass{rZ}{a}} \htmlClass{rC}{b} = \dfrac{1}{\log_{\htmlClass{rC}{b}} \htmlClass{rZ}{a}}

Warunki: a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 oraz c > 0. W pierwszym wzorze b jest podstawą wyjściową, więc jest zielone, a nowa podstawa a dostała fiolet — gdyby obie były zielone, wyglądałyby na tę samą liczbę. W drugim kolory zostają przy literach, dzięki czemu widać, że podstawy zamieniają się miejscami.

Logarytm dziesiętny

\log x = \lg x = \log_{10} x

Oba zapisy oznaczają to samo.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.