Potęgi i pierwiastki

Potęga o wykładniku naturalnym

• $\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rN}{n}} = \underbrace{\htmlClass{rZ}{a} \cdot \htmlClass{rZ}{a} \cdot \ldots \cdot \htmlClass{rZ}{a}}_{\htmlClass{rN}{n}\ \text{razy}}$

n jest liczbą całkowitą dodatnią, a — dowolną liczbą rzeczywistą.

Pierwiastek arytmetyczny

• $\sqrt[\htmlClass{rN}{n}]{\htmlClass{rZ}{a}} = \htmlClass{rC}{b} \iff \htmlClass{rC}{b}^{\htmlClass{rN}{n}} = \htmlClass{rZ}{a}$
• $\sqrt{\htmlClass{rZ}{a}^2} = |\htmlClass{rZ}{a}|$

Dla a ≥ 0 pierwiastek jest liczbą b ≥ 0. Gdy a < 0 i n jest nieparzyste, pierwiastek oznacza liczbę b < 0. Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wykładnik zerowy i ujemny

• $\htmlClass{rZ}{a}^{-\htmlClass{rN}{n}} = \dfrac{1}{\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rN}{n}}}$
• $\htmlClass{rZ}{a}^{0} = 1$

Dla a ≠ 0.

Wykładnik wymierny

• $\htmlClass{rZ}{a}^{\frac{\htmlClass{rC}{m}}{\htmlClass{rN}{n}}} = \sqrt[\htmlClass{rN}{n}]{\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{m}}}$
• $\htmlClass{rZ}{a}^{-\frac{\htmlClass{rC}{m}}{\htmlClass{rN}{n}}} = \dfrac{1}{\sqrt[\htmlClass{rN}{n}]{\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{m}}}}$

Pierwszy wzór dla a ≥ 0, drugi dla a > 0. m, n są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Działania na potęgach

• $\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}} \cdot \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rN}{s}} = \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}+\htmlClass{rN}{s}}$
• $\dfrac{\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}}}{\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rN}{s}}} = \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}-\htmlClass{rN}{s}}$
• $\left(\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}}\right)^{\htmlClass{rN}{s}} = \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r} \cdot \htmlClass{rN}{s}}$
• $(\htmlClass{rZ}{a} \cdot \htmlClass{rZ}{b})^{\htmlClass{rC}{r}} = \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}} \cdot \htmlClass{rZ}{b}^{\htmlClass{rC}{r}}$
• $\left(\dfrac{\htmlClass{rZ}{a}}{\htmlClass{rZ}{b}}\right)^{\htmlClass{rC}{r}} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rC}{r}}}{\htmlClass{rZ}{b}^{\htmlClass{rC}{r}}}$

Dla a > 0 i b > 0 oraz dowolnych rzeczywistych r, s. Gdy wykładniki są całkowite, wzory obowiązują dla wszystkich a ≠ 0 i b ≠ 0. Obie podstawy są zielone, bo obie pełnią tę samą rolę.

Porównywanie potęg

• $\htmlClass{rZ}{a} \in (0,\ 1): \quad \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rY}{x}} < \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rF}{y}} \iff \htmlClass{rY}{x} > \htmlClass{rF}{y}$
• $\htmlClass{rZ}{a} \in (1,\ +\infty): \quad \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rY}{x}} < \htmlClass{rZ}{a}^{\htmlClass{rF}{y}} \iff \htmlClass{rY}{x} < \htmlClass{rF}{y}$

Podstawa mniejsza od jedynki odwraca nierówność.

Dalej

• Wartość bezwzględna liczby
• Logarytmy
• Wszystkie działy