Kąt środkowy i kąt wpisany w okręgu

Odpowiedź: B

1. Mamy dwie informacje o tej samej parze kątów, więc zapisujemy dwa równania i porównujemy.
2. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym: $\beta = \textcolor{#E0453A}{2}\alpha$.
3. Z treści: $\beta = \alpha + \textcolor{#16A06A}{40^\circ}$.
4. Obie prawe strony opisują tę samą liczbę, więc:
5. $\textcolor{#E0453A}{2}\alpha = \alpha + \textcolor{#16A06A}{40^\circ} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \textcolor{#E0453A}{40^\circ}$
6. $\beta = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{40^\circ} = \textcolor{#E0453A}{80^\circ}$
7. Odpowiedź: B.
8. Kontrola obu warunków naraz: $80^\circ$ to dwa razy $40^\circ$ ✓ oraz $80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$ ✓. Przy dwóch warunkach trzeba sprawdzić oba, bo jeden bywa spełniony przypadkiem.
9. Warto zauważyć rzecz ogólną: skoro $\beta = 2\alpha$, to różnica $\beta - \alpha$ jest równa $\alpha$. Podana różnica $40^\circ$ jest więc od razu miarą kąta wpisanego — bez żadnego równania. To skrót, który działa zawsze przy takim sformułowaniu.

💡 Wskazówka: Zapisz oba warunki jako równania na te same dwie litery i przyrównaj. A jeśli chcesz szybciej: przy kącie środkowym dwukrotnie większym od wpisanego różnica między nimi równa się samemu kątowi wpisanemu — więc podana różnica jest gotową odpowiedzią na połowę zadania.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $40^\circ$ — to miara kąta wpisanego, nie środkowego. Liczba $40^\circ$ jest w treści i naprawdę pojawia się w rozwiązaniu, tylko w innej roli. Odpowiedź $D$, czyli $120^\circ$, powstaje z policzenia $\beta$ jako trzykrotności różnicy albo z pomylenia kierunku zależności. Warto sprawdzić, czy wybrana liczba jest dwa razy większa od czegoś, co też wychodzi z rachunku — dla $80^\circ$ tak jest, dla $120^\circ$ nie.

Odpowiedź: C

1. To to samo zadanie co poprzednie, tylko zapisane od drugiej strony i pytające o drugi kąt. Warto je zrobić, żeby sprawdzić, czy skrót z poprzedniego rozwiązania naprawdę działa.
2. Oznaczmy kąt wpisany przez $\alpha$. Kąt środkowy jest wtedy $\textcolor{#E0453A}{2}\alpha$, a treść mówi:
3. $\alpha = \textcolor{#E0453A}{2}\alpha - \textcolor{#16A06A}{20^\circ} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \textcolor{#E0453A}{20^\circ}$
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola: kąt środkowy wynosi $40^\circ$, a $40^\circ - 20^\circ = 20^\circ$ ✓ — tyle, ile kąt wpisany.
6. I sprawdzenie skrótu: różnica kątów równa się kątowi wpisanemu, więc podane $20^\circ$ jest odpowiedzią, bez rachunku. W poprzednim zadaniu ta sama obserwacja dawała tylko połowę wyniku, bo pytano o kąt środkowy; tutaj daje wszystko.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź, o który z dwóch kątów pyta zadanie. Przy tym samym warunku odpowiedź na pytanie o kąt wpisany to podana różnica, a na pytanie o kąt środkowy — jej dwukrotność. Dwa bardzo podobne zadania, dwie różne odpowiedzi.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $30^\circ$ — nie wynika z żadnego sensownego przekształcenia. Odwrócenie zależności, czyli potraktowanie kąta wpisanego jako dwukrotności środkowego, daje sprzeczność: kąt wpisany jest zawsze mniejszy. Ta liczba stoi tu tylko po to, żeby skusić zgadującego. Odpowiedzi $A$ i $B$ powstają z podzielenia podanej różnicy przez cztery albo przez dwa.

Odpowiedź: B

1. Droga jest dwuetapowa: od kąta wpisanego do środkowego, a od środkowego do łuku.
2. Kąt środkowy oparty na łuku $AB$ jest dwa razy większy od wpisanego:
3. $\textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#E0453A}{120^\circ}$
4. Łuk o takim kącie środkowym to $\tfrac{\textcolor{#E0453A}{120}}{360} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13}$ całego okręgu. Cały okrąg ma długość $2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{12\pi}$, więc:
5. $\ell = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13} \cdot \textcolor{#E0453A}{12\pi} = \textcolor{#E0453A}{4\pi}$
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola rzędem wielkości: łuk stanowi trzecią część okręgu, a cały okrąg to $12\pi$ — więc odpowiedź musi być wyraźnie mniejsza od $12\pi$ i wyraźnie większa od zera. Odpowiedź $D$ to cały okrąg, co odpadałoby nawet bez rachunku.
8. Uwaga na kolejność: gdyby ktoś od razu wziął $\tfrac{60}{360}$ całego okręgu, dostałby $2\pi$ — czyli odpowiedź $A$. To najczęstszy błąd i polega na pominięciu podwojenia.

💡 Wskazówka: Rozdziel te dwa kroki i nie łącz ich w jeden ułamek. Najpierw kąt wpisany razy dwa, potem dopiero ułamek $\tfrac{\alpha}{360}$. Ułamek stosuje się zawsze do kąta środkowego, nigdy do wpisanego.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $2\pi$ — z zastosowania ułamka $\tfrac{60}{360}$ wprost do kąta wpisanego, bez podwojenia. Wynik jest dokładnie dwa razy za mały. Odpowiedź $D$, czyli $12\pi$, to długość całego okręgu — czyli wielkość policzona po drodze i podana zamiast odpowiedzi. Odpowiedź $C$ to połowa okręgu, czyli łuk odpowiadający kątowi środkowemu $180^\circ$.

Odpowiedź: C

1. To ta sama droga co w poprzednim zadaniu, tylko przebyta w przeciwnym kierunku: od łuku do kąta wpisanego.
2. Łuk stanowi $\textcolor{#16A06A}{\tfrac15}$ okręgu, więc odpowiadający mu kąt środkowy to $\textcolor{#16A06A}{\tfrac15}$ kąta pełnego:
3. $\textcolor{#E0453A}{\tfrac15} \cdot 360^\circ = \textcolor{#E0453A}{72^\circ}$
4. Kąt wpisany jest połową środkowego:
5. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{72^\circ}}{2} = \textcolor{#E0453A}{36^\circ}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola „w drugą stronę”, czyli metodą z poprzedniego zadania: kąt wpisany $36^\circ$ daje kąt środkowy $72^\circ$, a $\tfrac{72}{360} = \tfrac15$ ✓ — dokładnie ten ułamek, który podano.
8. Zwróć uwagę, że promień nie jest w tym zadaniu podany — i nie jest potrzebny. Ułamek długości okręgu przekłada się na ułamek kąta pełnego niezależnie od tego, jak duży jest okrąg.

💡 Wskazówka: Ułamek długości okręgu to ten sam ułamek kąta pełnego — to pierwszy krok. Dopiero potem dzielisz przez dwa, żeby przejść z kąta środkowego na wpisany. Sprawdź na końcu, czy wynik jest ostry, skoro zadanie pyta o kąt ostry.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $72^\circ$ — to kąt środkowy, czyli zatrzymanie się w połowie drogi. Odpowiedź $A$, czyli $18^\circ$, powstaje z podzielenia przez dwa dwa razy albo z zastosowania ułamka $\tfrac15$ do kąta półpełnego zamiast pełnego: $\tfrac{180}{5} : 2$. Warto zapamiętać, że obie te liczby, $72^\circ$ i $36^\circ$, naprawdę w tym zadaniu występują — o wyborze decyduje wyłącznie to, o który kąt pytano.

Odpowiedź: C

1. Odruch podpowiada podzielić $160^\circ$ przez dwa. Byłoby to poprawne, gdyby punkt $L$ leżał po drugiej stronie okręgu — a z rysunku widać, że leży po tej samej, na krótszym z dwóch łuków $KM$.
2. Twierdzenie mówi o łuku, na którym kąt wpisany jest oparty — czyli o tym, którego wierzchołek $L$ nie zawiera. Skoro $L$ leży na łuku odpowiadającym kątowi $\textcolor{#16A06A}{160^\circ}$, to kąt $KLM$ opiera się na łuku pozostałym.
3. Kąt środkowy odpowiadający temu drugiemu łukowi to reszta kąta pełnego:
4. $360^\circ - \textcolor{#16A06A}{160^\circ} = \textcolor{#E0453A}{200^\circ}$
5. $|\sphericalangle KLM| = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{200^\circ}}{2} = \textcolor{#E0453A}{100^\circ}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola bez liczenia: kąt wpisany oparty na łuku większym od połowy okręgu jest rozwarty. Tutaj łuk odpowiada $200^\circ$, czyli ponad połowie, więc odpowiedź musi przekraczać $90^\circ$. To od razu wyklucza $A$ i $B$.
8. Kontrola sumą: gdyby na okręgu wziąć drugi punkt, po przeciwnej stronie, kąt wpisany wyniósłby $\tfrac{160}{2} = 80^\circ$. Suma obu kątów wpisanych, po dwóch stronach cięciwy $KM$, to $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$ ✓ — tak jak w każdym czworokącie wpisanym w okrąg.

💡 Wskazówka: Zanim podzielisz przez dwa, sprawdź na rysunku, po której stronie cięciwy leży wierzchołek kąta wpisanego. Jeśli leży po tej samej stronie co zaznaczony kąt środkowy, dziel przez dwa nie ten kąt, tylko jego dopełnienie do $360^\circ$. Szybki test: kąt wpisany wychodzi rozwarty dokładnie wtedy, gdy wierzchołek leży na krótszym łuku.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $80^\circ$ — połowa zaznaczonego kąta, bez sprawdzenia położenia punktu $L$. To najczęstsza pomyłka w tym typie zadania i jedyna, która daje „ładny” wynik. Odpowiedź $B$, czyli $90^\circ$, brałaby się z potraktowania $KM$ jak średnicy, a $KM$ średnicą nie jest — odpowiadający jej kąt środkowy wynosi $160^\circ$, a nie $180^\circ$.

Odpowiedź: C

1. Wielokąt jest foremny, więc jego wierzchołki dzielą okrąg na $\textcolor{#16A06A}{10}$ równych łuków. Każdemu z nich odpowiada kąt środkowy:
2. $\dfrac{360^\circ}{\textcolor{#16A06A}{10}} = \textcolor{#E0453A}{36^\circ}$
3. Kąt $AGD$ jest wpisany i opiera się na łuku od $\textcolor{#16A06A}{A}$ do $\textcolor{#16A06A}{D}$ — na tym, który nie zawiera punktu $G$. Idąc po wierzchołkach $A \to B \to C \to D$, przechodzimy przez $\textcolor{#E0453A}{3}$ takie łuki.
4. Kąt środkowy odpowiadający temu łukowi to więc $\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{36^\circ} = \textcolor{#E0453A}{108^\circ}$.
5. $|\sphericalangle AGD| = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{108^\circ}}{2} = \textcolor{#E0453A}{54^\circ}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola liczeniem łuków w drugą stronę: od $A$ do $D$ „górą”, czyli przez $J, I, H, G, F, E$, przechodzimy $7$ łuków, co daje $7 \cdot 36^\circ = 252^\circ$. Razem $108^\circ + 252^\circ = 360^\circ$ ✓ — obie części dopełniają się do kąta pełnego, więc podział jest policzony poprawnie.
8. Kontrola, że wzięto właściwy łuk: punkt $G$ leży na tej dłuższej części, więc kąt $AGD$ opiera się na tej krótszej ✓. Gdyby liczyć od tej dłuższej, wyszłoby $126^\circ$ — kąt rozwarty, którego nie ma wśród odpowiedzi.

💡 Wskazówka: W wielokącie foremnym o $n$ bokach jeden bok „widziany ze środka” to $\tfrac{360^\circ}{n}$. Dalej wystarczy policzyć boki między dwoma wierzchołkami — po tej stronie, po której nie ma wierzchołka kąta. Cały rachunek to mnożenie i dzielenie przez dwa.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $36^\circ$ — kąt środkowy odpowiadający jednemu bokowi, czyli wynik zatrzymany na pierwszym kroku. Odpowiedź $A$, czyli $18^\circ$, to jego połowa, czyli kąt wpisany oparty na jednym boku: prawidłowy rachunek zastosowany do złego łuku. Odpowiedź $D$, czyli $60^\circ$, nie pochodzi z tego dziesięciokąta w ogóle — jest kątem środkowym sześciokąta foremnego i wygląda wiarygodnie tylko dlatego, że jest „okrągła”.