Strona główna › Wzory skróconego mnożenia › Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia
Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia
Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia opisują sześcian sumy i różnicy oraz sumę i różnicę sześcianów: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ oraz a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Krótko: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³. a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
1Tabela wzorów
| nazwa | wzór |
|---|---|
| sześcian sumy | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| sześcian różnicy | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| suma sześcianów | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| różnica sześcianów | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
W sześcianie sumy współczynniki 1, 3, 3, 1 pochodzą z trójkąta Pascala. W sześcianie różnicy znaki na przemian się zmieniają.
2Jak zapamiętać wzory na a³ ± b³
W pierwszym nawiasie stoi ta sama operacja co w wyrażeniu (a + b albo a − b). Drugi nawias to „prawie kwadrat”: a² + b² z iloczynem ab, który w sumie sześcianów ma znak minus (a² − ab + b²), a w różnicy sześcianów — plus (a² + ab + b²).
Sprawdź wzór na liczbach: dla a = 2, b = 3 mamy (2 + 3)³ = 125 oraz 8 + 36 + 54 + 27 = 125.
3Do czego służą w zadaniach
Wzory te pozwalają rozkładać wielomiany na czynniki (np. x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)), skracać wyrażenia wymierne i liczyć w pamięci, np. 10³ − 1 = 999 = 9 · 111.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Sześcian sumy
Rozwiń (x + 2)³.
- a = x, b = 2: x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 4 + 8.
- x³ + 6x² + 12x + 8.
Odpowiedź: x³ + 6x² + 12x + 8
Przykład 2 Rozkład różnicy sześcianów
Rozłóż na czynniki x³ − 8.
- 8 = 2³, więc a = x, b = 2.
- x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
Odpowiedź: (x − 2)(x² + 2x + 4)
Przykład 3 Rachunek w pamięci
Oblicz 10³ − 1³ za pomocą wzoru.
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), a = 10, b = 1.
- (10 − 1)(100 + 10 + 1) = 9 · 111 = 999.
Odpowiedź: 999
5Najczęstsze błędy
(a + b)³ = a³ + b³
Skąd się bierze: Pominięcie wyrazów 3a²b i 3ab².
Jak zrobić dobrze: Sześcian sumy ma cztery składniki: a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Zły znak w drugim nawiasie
Skąd się bierze: Zapisanie a³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²).
Jak zrobić dobrze: Przy sumie sześcianów w nawiasie jest a² − ab + b²; plus przy ab występuje w różnicy sześcianów.
Niepodniesienie 3 do sześcianu
Skąd się bierze: (x + 3)³ z 3x² zamiast 9x² itd.
Jak zrobić dobrze: Rozpisuj krok po kroku: 3 · x · 3² = 27x, a b³ = 27.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. (x + 2)³ =
x³ + 3x²·2 + 3x·4 + 8.
2. a³ − b³ =
Wzór na różnicę sześcianów.
3. (x − 1)³ =
Znaki na przemian: x³ − 3x² + 3x − 1.
4. Ile wynosi 10³ − 1?
9 · 111 = 999.
5. x³ − 8 =
a = x, b = 2.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Wyrażenia, przedziały, nierówności” (liceum, klasa 1), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na sześcian sumy?
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Jaki jest wzór na sumę sześcianów?
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Jaki jest wzór na różnicę sześcianów?
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Skąd się biorą współczynniki 1, 3, 3, 1?
To trzeci wiersz trójkąta Pascala (współczynniki dwumianu Newtona dla n = 3).
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
