Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 49, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy
Paweł i Grzegorz grają w grę z użyciem symetrycznej sześciennej kostki. Gdy wypadnie \(1\), \(2\) lub \(3\), Grzegorz daje Pawłowi \(10\) żetonów. Gdy wypadnie \(6\), Paweł daje Grzegorzowi \(x\) żetonów. Przy wyniku \(4\) lub \(5\) nikt nie dostaje żetonów. Liczbę \(x\) ustalono tak, aby wartości oczekiwane zysku Pawła i Grzegorza były równe.
**Oblicz liczbę \(x\) żetonów.**
Odpowiedź
\[x=30\text{ żetonów}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Paweł z prawdopodobieństwem \(\frac12\) zyskuje \(10\) żetonów, z prawdopodobieństwem \(\frac16\) traci \(x\) żetonów, a w pozostałych przypadkach jego zysk wynosi \(0\). Zatem
\[\mathbb E Z_P=10\cdot\frac12-x\cdot\frac16=5-\frac x6.\]
Analogicznie \(\mathbb E Z_G=-5+\frac x6\). Z warunku równości wartości oczekiwanych:
\[5-\frac x6=-5+\frac x6,\]
więc \(x=30\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia liczby \(x\) i wynik \(x=30\)
**2 pkt** – poprawne zapisanie wartości oczekiwanych obu graczy albo wartości oczekiwanej Pawła i równania \(10\cdot\frac12-x\cdot\frac16=0\)
**1 pkt** – poprawne powiązanie zysków i strat z prawdopodobieństwami \(\frac12\), \(\frac16\) i \(\frac26\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1-II.2 i III.2 interpretowanie informacji, używanie języka matematycznego oraz tworzenie modeli.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.1 i XII.5 obliczanie prawdopodobieństwa klasycznego i wartości oczekiwanej w prostych grach losowych.
