Strona główna › Równania i nierówności › Równania wielomianowe

Równania wielomianowe

Równanie wielomianowe ma postać $W(x) = 0$ , na przykład $x^3 - 4x = 0$ . Rozwiązuje się je zawsze tym samym sposobem: rozkładamy wielomian na czynniki i korzystamy z tego, że iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem. Cała sztuka to dobrać właściwy sposób rozkładu — poniżej są wszystkie, od najprostszego. Podstawy działań na wielomianach są na stronie wielomiany.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum (klasa 2–3) i matura

Krótko: przenieś wszystko na jedną stronę, rozłóż $W(x)$ na czynniki (wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, pierwiastek całkowity z dzielników wyrazu wolnego i dzielenie przez $x - a$ ), a potem przyrównaj każdy czynnik do zera. Przykład: $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) = 0$ , więc $x \in \{-2, 0, 2\}$ .

1Metoda w trzech krokach

Wszystko na jedną stronę. Po prawej ma zostać samo $0$ . Równanie $x^3 = 4x$ zapisujemy jako $x^3 - 4x = 0$ .
Rozkład na czynniki. Wielomian zamieniamy na iloczyn nawiasów stopnia pierwszego i drugiego.
Każdy czynnik równy zeru. Z $x(x - 2)(x + 2) = 0$ wynika $x = 0$ albo $x = 2$ albo $x = -2$ . Czynnik kwadratowy bez pierwiastków (np. $x^2 + 4$ ) nie daje rozwiązań.

Ta sama metoda jest pierwszym krokiem przy nierównościach wielomianowych — tam po rozkładzie bada się jeszcze znak wielomianu.

2Sposoby rozkładu na czynniki

sposób	kiedy	przykład
wyłączanie wspólnego czynnika	każdy wyraz zawiera $x$ (lub tę samą liczbę)	$x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$
wzory skróconego mnożenia	różnica kwadratów, sześcianów, kwadrat sumy	$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
grupowanie wyrazów	cztery wyrazy, pary mają wspólny nawias	$x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (x + 2)(x^2 - 9)$
delta	został czynnik kwadratowy	$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
pierwiastek całkowity i dzielenie	nic z powyższego nie działa	$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ — patrz niżej

Wzory przydatne przy rozkładzie zebraliśmy na stronie wzory skróconego mnożenia.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Wielomiany” (liceum, klasa 2), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Wielomiany — cały dział, liceum, klasa 2 (3 pakiety)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Wielomiany”3 arkusze w jednym pliku6,90 zł~~11,70 zł~~−4,80 zł Liceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 6,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Pierwiastki całkowite i twierdzenie Bézouta

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Twierdzenie Bézouta

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(x)$ dzieli się bez reszty przez $(x - a)$ .

W praktyce: wypisz dzielniki wyrazu wolnego, podstawiaj je do wielomianu, aż wyjdzie $0$ , a potem podziel wielomian przez $(x - a)$ — pisemnie (dzielenie wielomianów) albo schematem Hornera. Zostaje wielomian o stopień niższy. Pierwiastki wymierne (ułamki) opisujemy na stronie wymierne pierwiastki wielomianu.

4Równania dwukwadratowe

Równanie postaci $ax^4 + bx^2 + c = 0$ rozwiązujemy podstawieniem $t = x^2$ , gdzie $t \geq 0$ . Powstaje zwykłe równanie kwadratowe $at^2 + bt + c = 0$ . Każde dodatnie $t$ daje dwa rozwiązania $x = \pm\sqrt{t}$ , $t = 0$ daje $x = 0$ , a ujemne $t$ odrzucamy. Szerzej: równania sprowadzalne do kwadratowych.

5Ile rozwiązań i krotność pierwiastka

Równanie stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ rozwiązań rzeczywistych.
Równanie stopnia nieparzystego ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Jeśli czynnik $(x - a)$ występuje w rozkładzie w potędze $k$ , to $a$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym. W równaniu $x^2(x - 3) = 0$ liczba $0$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $3$ jednokrotnym — rozwiązania to $x = 0$ i $x = 3$ .

6Przykłady krok po kroku

Przykład $1$ Wyłączanie przed nawias

Rozwiąż równanie $x^3 = 4x$ .

Na jedną stronę: $x^3 - 4x = 0$ .
Wyłącz $x$ : $x(x^2 - 4) = 0$ .
Różnica kwadratów: $x(x - 2)(x + 2) = 0$ .
Każdy czynnik równy zeru: $x = 0$ , $x = 2$ , $x = -2$ .

Odpowiedź: $x \in \{-2, 0, 2\}$ .

Przykład $2$ Grupowanie wyrazów

Rozwiąż równanie $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$ .

Pogrupuj: $x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$ .
Wspólny nawias: $(x + 2)(x^2 - 9) = 0$ .
Różnica kwadratów: $(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$ .

Odpowiedź: $x \in \{-3, -2, 3\}$ .

Przykład $3$ Pierwiastek z dzielników wyrazu wolnego

Rozwiąż równanie $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ .

Dzielniki wyrazu wolnego $-6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .
$W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ , więc $x = 1$ jest pierwiastkiem.
Dzielenie przez $(x - 1)$ : $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$ .
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ , bo $\Delta = 25 - 24 = 1$ .

Odpowiedź: $x \in \{1, 2, 3\}$ .

Przykład $4$ Równanie dwukwadratowe

Rozwiąż równanie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Podstaw $t = x^2$ , $t \geq 0$ : $t^2 - 5t + 4 = 0$ .
$\Delta = 25 - 16 = 9$ , więc $t = 1$ albo $t = 4$ — oba dodatnie.
$x^2 = 1$ daje $x = \pm 1$ , $x^2 = 4$ daje $x = \pm 2$ .

Odpowiedź: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ .

7Najczęstsze błędy

Dzielenie obu stron przez $x$ .

Skąd się bierze: Z $x^3 = 4x$ „skraca się” $x$ i zostaje $x^2 = 4$ .

Jak zrobić dobrze: Wyłącz $x$ przed nawias — wtedy nie zgubisz rozwiązania $x = 0$ .

Przyrównywanie czynników do liczby innej niż zero.

Skąd się bierze: Z $(x - 1)(x + 2) = 4$ wydaje się, że któryś nawias jest równy $4$ .

Jak zrobić dobrze: Najpierw przenieś $4$ na lewą stronę, uporządkuj i dopiero wtedy rozkładaj. Reguła działa tylko dla iloczynu równego zeru.

Rozwiązania z ujemnego $t$ w równaniu dwukwadratowym.

Skąd się bierze: Po podstawieniu $t = x^2$ zapomina się o warunku $t \geq 0$ .

Jak zrobić dobrze: Równanie $x^2 = -4$ nie ma rozwiązań rzeczywistych — takie $t$ odrzucamy.

Szukanie pierwiastka całkowitego poza dzielnikami wyrazu wolnego.

Skąd się bierze: Zgadywanie przypadkowych liczb.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj tylko dzielniki wyrazu wolnego, z plusem i z minusem — to skończona, krótka lista.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Nierówności kwadratowe — kartkówka, liceum klasa 2

Postać iloczynowa, nierówność x² ≥ c, rozwiązania całkowite.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Wyrażenia, równania i nierówności — test, liceum klasa 1

Przedziały, wzory skróconego mnożenia, wartość bezwzględna, układy.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Równania i nierówności liniowe — sprawdzian, liceum, klasa 1

Nierówność z ułamkami, skrajne rozwiązanie całkowite, zadania tekstowe.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest równanie wielomianowe?

To równanie postaci W(x) = 0, w którym W jest wielomianem, na przykład x³ − 4x = 0. Rozwiązania równania to pierwiastki (miejsca zerowe) wielomianu.

Ile rozwiązań może mieć równanie wielomianowe?

Równanie stopnia n ma co najwyżej n rozwiązań rzeczywistych. Równanie stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Jak rozwiązać równanie wielomianowe trzeciego stopnia?

Przenieś wszystko na jedną stronę i spróbuj rozłożyć wielomian na czynniki: wyłącz wspólny czynnik albo pogrupuj wyrazy. Jeśli to nie działa, szukaj pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego, podziel wielomian przez (x − a) i rozwiąż powstałe równanie kwadratowe.

Co mówi twierdzenie Bézouta?

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x − a).

Czy można podzielić obie strony równania przez x?

Nie. Dzielenie przez x gubi rozwiązanie x = 0. Zamiast dzielić, wyłącz x przed nawias i skorzystaj z tego, że iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem.

Co to jest pierwiastek dwukrotny?

To pierwiastek, którego czynnik występuje w rozkładzie w drugiej potędze, na przykład x = 0 w równaniu x²(x − 3) = 0. W odpowiedzi podajemy go raz.

Jakie równanie wielomianowe sprowadza się do kwadratowego?

Równanie dwukwadratowe ax⁴ + bx² + c = 0. Po podstawieniu t = x² (t ≥ 0) staje się równaniem kwadratowym.

Czytaj dalej

Nierówności wielomianoweRozkład na czynniki i metoda węża.WielomianyStopień, działania, rozkład na czynniki.Dzielenie wielomianówDzielenie pisemne i reszta z dzielenia.Schemat HorneraSzybkie dzielenie przez

x - a

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Równania wielomianowe

1Metoda w trzech krokach

2Sposoby rozkładu na czynniki

3Pierwiastki całkowite i twierdzenie Bézouta

4Równania dwukwadratowe

5Ile rozwiązań i krotność pierwiastka

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Nierówności kwadratowe — kartkówka, liceum klasa 2

Wyrażenia, równania i nierówności — test, liceum klasa 1

Równania i nierówności liniowe — sprawdzian, liceum, klasa 1

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku