Strona główna › Twierdzenie Pitagorasa › Przyprostokątna i przeciwprostokątna
Przyprostokątna i przeciwprostokątna
Przyprostokątne to dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego, przylegające do kąta prostego. Przeciwprostokątna to najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.
Krótko: W trójkącie prostokątnym przyprostokątne a i b tworzą kąt prosty, a przeciwprostokątna c leży naprzeciw niego i jest najdłuższym bokiem: a² + b² = c².
1Jak rozpoznać boki trójkąta prostokątnego
Najpierw znajdź kąt prosty (zaznaczony kwadracikiem). Dwa boki, które go tworzą, to przyprostokątne. Bok leżący naprzeciw kąta prostego, czyli ten, który go nie dotyka, to przeciwprostokątna. Jest ona zawsze najdłuższym bokiem trójkąta, niezależnie od tego, jak trójkąt jest obrócony na rysunku.
2Twierdzenie Pitagorasa
Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Znając dwa boki, wyliczysz trzeci: c = √a² + b², a = √c² − b².
| przyprostokątne a, b | przeciwprostokątna c |
|---|---|
| 3 i 4 | 5 |
| 6 i 8 | 10 |
| 5 i 12 | 13 |
| 8 i 15 | 17 |
| 7 i 24 | 25 |
3Czy trójkąt jest prostokątny
Jeśli kwadrat najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych, to trójkąt jest prostokątny. Na przykład 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25², więc trójkąt o bokach 7, 24 i 25 jest prostokątny.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Przeciwprostokątna
Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.
- c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- c = √100 = 10 cm.
Odpowiedź: c = 10 cm
Przykład 2 Przyprostokątna
Przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz drugą przyprostokątną.
- b² = c² − a² = 169 − 25 = 144.
- b = √144 = 12 cm.
Odpowiedź: b = 12 cm
Przykład 3 Czy to trójkąt prostokątny
Sprawdź, czy trójkąt o bokach 4, 5 i 6 jest prostokątny.
- Najdłuższy bok: 6, więc 6² = 36.
- Suma kwadratów pozostałych: 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
- 36 ≠ 41, więc trójkąt nie jest prostokątny.
Odpowiedź: Nie jest prostokątny
5Najczęstsze błędy
Uznanie najkrótszego boku za przeciwprostokątną
Skąd się bierze: Przy obróconym rysunku łatwo wskazać zły bok.
Jak zrobić dobrze: Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa.
c = a + b
Skąd się bierze: Dodawanie długości zamiast ich kwadratów.
Jak zrobić dobrze: W twierdzeniu Pitagorasa dodajemy kwadraty: c² = a² + b².
Brak pierwiastka
Skąd się bierze: Zatrzymanie się na c² = 100.
Jak zrobić dobrze: c² to kwadrat boku. Aby dostać c, wyciągnij pierwiastek: c = 10.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Przyprostokątne 9 i 12. Przeciwprostokątna:
81 + 144 = 225, więc c = 15.
2. Przeciwprostokątna 10, przyprostokątna 6. Druga przyprostokątna:
100 − 36 = 64, więc 8.
3. Który bok jest przeciwprostokątną w trójkącie o bokach 5, 12, 13?
Przeciwprostokątna jest najdłuższa: 13.
4. Czy trójkąt o bokach 4, 5, 6 jest prostokątny?
16 + 25 = 41 ≠ 36.
5. Przeciwprostokątna leży:
Z definicji leży naprzeciw kąta prostego.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Twierdzenie Pitagorasa” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Co to jest przeciwprostokątna?
Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciw kąta prostego.
Co to jest przyprostokątna?
Jeden z dwóch boków trójkąta prostokątnego, które tworzą kąt prosty.
Jak obliczyć przeciwprostokątną?
Zsumuj kwadraty przyprostokątnych i wyciągnij pierwiastek: c = √a² + b².
Czy przeciwprostokątna zawsze jest najdłuższa?
Tak. Jako bok naprzeciw największego kąta (90°) jest dłuższa od obu przyprostokątnych.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
