Strona główna › Geometria płaska › Przekątna prostokąta
Przekątna prostokąta
Przekątna prostokąta to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Jej długość liczymy z twierdzenia Pitagorasa: d = √a² + b², gdzie a i b to boki prostokąta.
Krótko: Przekątna prostokąta o bokach a i b ma długość d = √a² + b². Obie przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy.
1Wzór na przekątną prostokąta
Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Boki a i b są przyprostokątnymi, a przekątna d — przeciwprostokątną, więc d² = a² + b².
Gdy znasz przekątną i jeden bok, drugi bok obliczysz ze wzoru b = √d² − a².
2Trójki pitagorejskie — przekątna bez pierwiastka
Czasem przekątna wychodzi liczbą całkowitą. Warto znać najczęstsze trójki:
| boki a, b | przekątna d | sprawdzenie |
|---|---|---|
| 3 i 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 6 i 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 5 i 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 i 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
3Własności przekątnych prostokąta
Przekątne prostokąta są równej długości i dzielą się na połowy, ale (inaczej niż w kwadracie) nie są prostopadłe. Jeśli prostokąt nie jest kwadratem, tworzą kąty różne od 90°.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Przekątna z boków
Prostokąt ma boki 6 cm i 8 cm. Oblicz przekątną.
- d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- d = √100 = 10 cm.
Odpowiedź: d = 10 cm
Przykład 2 Przekątna niecałkowita
Prostokąt ma boki 5 cm i 7 cm. Oblicz przekątną.
- d² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74.
- d = √74 ≈ 8,60 cm.
Odpowiedź: d = √74 cm ≈ 8,60 cm
Przykład 3 Brakujący bok i pole
Przekątna prostokąta ma 13 cm, a jeden bok 5 cm. Oblicz drugi bok i pole.
- b² = d² − a² = 169 − 25 = 144, więc b = 12 cm.
- Pole: P = 5 · 12 = 60 cm².
Odpowiedź: b = 12 cm, P = 60 cm²
5Najczęstsze błędy
d = a + b
Skąd się bierze: Dodawanie boków wydaje się naturalne.
Jak zrobić dobrze: Przekątna jest krótsza niż a + b. Zawsze licz z Pitagorasa: d = √a² + b².
Brak pierwiastka w wyniku
Skąd się bierze: Zatrzymanie się na d² = 74.
Jak zrobić dobrze: d² to kwadrat przekątnej. Do odpowiedzi potrzebny jest pierwiastek: d = √74.
Wzór a√2 dla prostokąta
Skąd się bierze: Wzór d = a√2 dotyczy tylko kwadratu.
Jak zrobić dobrze: W prostokącie a ≠ b, więc użyj d = √a² + b².
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Boki prostokąta to 9 i 12. Przekątna wynosi:
81 + 144 = 225, więc d = 15.
2. Przekątna prostokąta 4 × 6 to:
16 + 36 = 52, więc d = √52 ≈ 7,21.
3. Przekątna ma 17, jeden bok 8. Drugi bok:
289 − 64 = 225, więc b = 15.
4. Czy przekątne prostokąta są równej długości?
Tak, w każdym prostokącie są równe.
5. Przekątna prostokąta 5 × 12 wynosi:
25 + 144 = 169, więc d = 13.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Twierdzenie Pitagorasa” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jak obliczyć przekątną prostokąta?
Podstaw boki do wzoru d = √a² + b². Dla boków 3 i 4 przekątna ma 5.
Czy przekątne prostokąta są równe?
Tak, ale nie są prostopadłe (chyba że prostokąt jest kwadratem).
Jak obliczyć bok prostokąta z przekątnej?
Odejmij kwadrat znanego boku od kwadratu przekątnej i spierwiastkuj: b = √d² − a².
Czym różni się przekątna prostokąta od przekątnej kwadratu?
W kwadracie a = b, więc wzór upraszcza się do d = a√2. W prostokącie trzeba użyć obu boków.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
