Strona główna › Geometria płaska › Pole trójkąta równoramiennego
Pole trójkąta równoramiennego
Pole trójkąta równoramiennego liczymy jak w każdym trójkącie: P = a · h2, gdzie a to podstawa, a h — wysokość opuszczona na tę podstawę. Wysokość często trzeba najpierw obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.
Krótko: Pole trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h to P = a · h2. Gdy znasz ramię b, wysokość to h = √b² − (a2)².
1Wzór na pole
Podstawą jest bok, który nie jest ramieniem. Wysokość opuszczona na podstawę jest prostopadła do niej i dzieli ją na dwie równe części po a2.
2Jak obliczyć wysokość z ramienia
Wysokość tworzy z połową podstawy i ramieniem trójkąt prostokątny, w którym ramię b jest przeciwprostokątną. Stąd h² + (a2)² = b².
Wzór na pole w jednym kroku: P = a4 · √4b² − a². Dla a = 6 i b = 5 mamy P = 64 · √100 − 36 = 64 · 8 = 12.
3Własności trójkąta równoramiennego
Kąty przy podstawie są równe, a wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową i dwusieczną kąta przy wierzchołku. Dzięki temu rozwiązujemy zadania z połową trójkąta jako z trójkątem prostokątnym.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Pole z podstawy i wysokości
Podstawa trójkąta równoramiennego ma 6 cm, a wysokość 4 cm. Oblicz pole.
- P = 6 · 42 = 12 cm².
Odpowiedź: P = 12 cm²
Przykład 2 Wysokość z ramienia
Podstawa ma 10 cm, a ramiona po 13 cm. Oblicz pole.
- Połowa podstawy: 5 cm.
- h = √13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 cm.
- P = 10 · 122 = 60 cm².
Odpowiedź: P = 60 cm²
Przykład 3 Zadanie z obwodem
Obwód trójkąta równoramiennego to 16 cm, a podstawa ma 6 cm. Ramię ma 5 cm. Oblicz pole.
- h = √25 − 9 = 4 cm.
- P = 6 · 42 = 12 cm².
Odpowiedź: P = 12 cm²
5Najczęstsze błędy
Ramię jako wysokość
Skąd się bierze: Na rysunku ramię wydaje się wysokością.
Jak zrobić dobrze: Wysokość jest prostopadła do podstawy. Ramię jest przeciwprostokątną trójkąta, w którym liczymy h.
Użycie całej podstawy w Pitagorasie
Skąd się bierze: h² + a² = b² zamiast połowy podstawy.
Jak zrobić dobrze: Wysokość dzieli podstawę na pół: h² + (a2)² = b².
Brak dzielenia przez 2
Skąd się bierze: Mnożenie a · h daje pole prostokąta.
Jak zrobić dobrze: Pole trójkąta to połowa: a · h2.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Podstawa 8, wysokość 5. Pole:
8 · 52 = 20.
2. Podstawa 10, ramię 13. Pole:
h = 12, P = 10 · 122 = 60.
3. Podstawa 6, ramię 5. Pole:
h = 4, P = 12.
4. Wysokość opuszczona na podstawę dzieli podstawę:
W trójkącie równoramiennym wysokość jest też środkową.
5. Podstawa 12, wysokość 3,5. Pole:
12 · 3,52 = 21.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na pole trójkąta równoramiennego?
P = a · h2, gdzie a to podstawa, a h — wysokość opuszczona na tę podstawę.
Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego, gdy znam podstawę i ramię?
Wysokość policz z Pitagorasa: h = √b² − (a2)², potem P = a · h2.
Czy wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na pół?
Tak, jeśli jest opuszczona na podstawę.
Czym różni się trójkąt równoramienny od równobocznego?
Równoramienny ma co najmniej dwa równe boki, równoboczny — trzy. Każdy równoboczny jest też równoramienny.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
