Graniastosłupy w klasie 8: wzory, trzy przykłady krok po kroku i zadania do druku

Graniastosłupy w klasie 8 sprowadzają się do dwóch wzorów i jednej umiejętności, której wzory nie dają: trzeba zobaczyć, która ściana jest podstawą, i policzyć jej pole. Na egzaminie ósmoklasisty graniastosłup pojawia się prawie co roku, zwykle w zadaniu z siatką, objętością albo przekątną. Poniżej: wzory, trzy przykłady rozpisane krok po kroku, czego wymaga egzamin, gdzie uczniowie tracą punkty i zadania do druku z kluczem.

Co to jest graniastosłup i jak go rozpoznać

Graniastosłup ma dwie jednakowe, równoległe podstawy (wielokąty) i ściany boczne, które są równoległobokami. Jeśli ściany boczne są prostokątami, graniastosłup jest prosty; jeśli do tego podstawa jest wielokątem foremnym (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny), graniastosłup jest prawidłowy. Nazwa pochodzi od podstawy: trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Prostopadłościan i sześcian to też graniastosłupy, tylko „oswojone”.

Dla graniastosłupa o podstawie n-kąta: krawędzi jest 3n, wierzchołków 2n, ścian n + 2. Graniastosłup sześciokątny ma więc 18 krawędzi, 12 wierzchołków i 8 ścian. To pytanie pojawia się na egzaminie częściej, niż się wydaje.

Dwa wzory

• Pole powierzchni całkowitej: P_c = 2 · P_p + P_b, gdzie P_p to pole podstawy, a P_b to pole powierzchni bocznej. W graniastosłupie prostym P_b = obwód podstawy · H.
• Objętość: V = P_p · H.

Wzory są proste. Trudność jest w P_p: trzeba umieć policzyć pole trójkąta równobocznego (a²√3 : 4), trapezu, sześciokąta foremnego (6 trójkątów równobocznych) i rozpoznać, która ściana jest podstawą, gdy bryła leży „na boku”.

Przykład 1: prostopadłościan 3 cm × 4 cm × 5 cm

P_p = 3 · 4 = 12 cm². Obwód podstawy = 2 · 3 + 2 · 4 = 14 cm, więc P_b = 14 · 5 = 70 cm². P_c = 2 · 12 + 70 = 94 cm². V = 12 · 5 = 60 cm³.

Przekątna prostopadłościanu (często w zadaniach egzaminacyjnych): d = √(a² + b² + c²). Dla wymiarów 3, 4, 12: d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Przykład 2: graniastosłup prawidłowy trójkątny, a = 4 cm, H = 10 cm

Podstawa to trójkąt równoboczny: P_p = a²√3 : 4 = 16√3 : 4 = 4√3 cm² (≈ 6,93 cm²). P_b = 3 · 4 · 10 = 120 cm². P_c = 2 · 4√3 + 120 = 120 + 8√3 cm² (≈ 133,9 cm²). V = 4√3 · 10 = 40√3 cm³ (≈ 69,3 cm³).

Na egzaminie wynik zostawiamy z pierwiastkiem, chyba że polecenie każe zaokrąglić. „120 + 8√3” to pełna odpowiedź; 133,9 jest przybliżeniem.

Przykład 3: graniastosłup prawidłowy sześciokątny, a = 2 cm, H = 5 cm

Sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych: P_p = 6 · (a²√3 : 4) = 6 · (4√3 : 4) = 6√3 cm². P_b = 6 · 2 · 5 = 60 cm². P_c = 2 · 6√3 + 60 = 60 + 12√3 cm². V = 6√3 · 5 = 30√3 cm³.

Czego wymaga egzamin ósmoklasisty

• Rozpoznać graniastosłup po siatce i odwrotnie: dobrać siatkę do bryły.
• Policzyć objętość lub pole, gdy część danych trzeba wyznaczyć (np. wysokość z objętości: H = V : P_p).
• Zadanie praktyczne: akwarium (ile litrów, 1 dm³ = 1 litr), pudełko (ile kartonu), basen.
• Przekątna ściany lub bryły z twierdzenia Pitagorasa.
• Prawda/fałsz o liczbie krawędzi, wierzchołków, ścian.

Zadania „praktyczne” wymagają zamiany jednostek: cm³ na litry, m² na cm². To tam ginie najwięcej punktów, nie we wzorach.

Gdzie uczniowie tracą punkty

1. Zła podstawa. Graniastosłup narysowany „na boku” ma podstawę z boku, a nie na dole. Zasada: podstawy to dwie jednakowe, równoległe ściany; H to odległość między nimi.
2. P_c bez „2 ·”. Jedna podstawa zamiast dwóch.
3. Pole trójkąta równobocznego liczone jako a · a : 2.
4. Jednostki: cm² w objętości, cm³ w polu, brak zamiany na litry.
5. Brak odpowiedzi słownej w zadaniu tekstowym: „V = 60” to nie odpowiedź na pytanie „ile litrów wody zmieści akwarium?”.

Zadania do druku

Darmowe zadania z graniastosłupów z kluczem, w układzie egzaminacyjnym (zadania zamknięte i otwarte), są na stronie graniastosłupy i ostrosłupy, egzamin ósmoklasisty, a w dziale egzamin ósmoklasisty pozostałe tematy. Kartkówki i sprawdziany z graniastosłupów dla klasy 8 mają darmową grupę A na stronie produktu; grupy B–E z kluczami kosztują 2,90 zł za pakiet. O tym, jak traktować sam egzamin bez paniki, piszę w artykule Egzamin ósmoklasisty z matematyki: zwykły egzamin, nie wyrok.

Poniżej: cały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy” dla klasy 8 w jednym pliku (6 kartkówek i sprawdzianów, grupy B–E z kluczami), karty pracy z graniastosłupów dla klas 6–7 na powtórkę podstaw i kartkówka z pola powierzchni.

Płatne zestawy · sklep NKML

Gotowe zestawy z graniastosłupów

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz mieć gotowy zestaw w jednym pliku, z kluczem odpowiedzi, tu są płatne materiały z tego tematu.

Płatny zestaw · sklep

117 stron · PDF do druku

Graniastosłupy i ostrosłupy — cały dział, klasa 8 (6 pakietów)

Cały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy” dla klasy 8 w jednym pliku ZIP: 6 pakietów kartkówek i sprawdzianów (grupy B–E z kluczami nauczyciela), 117…

11,90 złZobacz zestaw →

Płatny zestaw · sklep

23 stron · PDF do druku

Graniastosłupy, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–7: budowa graniastosłupa, suma krawędzi, pole powierzchni, objętość, jednostki objętości. Na końcu test…

7,90 złZobacz zestaw →

Płatny zestaw · sklep

17 stron · PDF do druku

Pole powierzchni graniastosłupa — kartkówka, klasa 8

Cały pakiet grup B, C, D i E za 3,90 zł. Kartkówka z matematyki dla uczniów klasy 8. Cztery arkusze ucznia i cztery osobne klucze z rozwiązaniami.

3,90 złZobacz zestaw →

Pliki PDF do samodzielnego wydruku. Wszystkie kartkówki i sprawdziany dla klasy 8 →

Najczęstsze pytania

Czym różni się graniastosłup prosty od prawidłowego?

Prosty ma ściany boczne prostopadłe do podstaw (prostokąty). Prawidłowy to prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny. Każdy prawidłowy jest prosty, nie każdy prosty jest prawidłowy.

Ile krawędzi ma graniastosłup pięciokątny?

3 · 5 = 15 krawędzi, 10 wierzchołków, 7 ścian.

Jak policzyć wysokość graniastosłupa, gdy znam objętość?

H = V : P_p. Na przykład V = 60 cm³, P_p = 12 cm², więc H = 5 cm.

Czy na egzaminie trzeba pamiętać wzory?

Na egzaminie ósmoklasisty nie ma karty wzorów. Trzeba znać P_c = 2P_p + P_b, V = P_p · H i pole trójkąta równobocznego.