Matematyka jako jedyna z nauk opisujących świat pozwala udowodnić coś raz na zawsze. W fizyce teorię potwierdzają doświadczenia, w medycynie badania — i zawsze może przyjść wynik, który je obali. Twierdzenie Pitagorasa udowodniono dwa i pół tysiąca lat temu i nikt go już nie obali. Ta strona tłumaczy, na czym polega ta różnica.
Dział: RozumowaniePoziom: klasa 7 – maturaZadań z E8: 7
Sprawdzenie, że coś działa dla stu liczb, mówi tylko tyle: działa dla tych stu. O pozostałych nie mówi nic.
Brzmi to jak formalna drobiazgowość, dopóki nie zobaczy się przykładu, w którym to naprawdę zawodzi.
Wyrażenie n2+n+41 daje liczbę pierwszą dla n=0,1,2 i tak dalej — nieprzerwanie przez czterdzieści kolejnych wartości. Ktoś sprawdzający po kolei byłby pewny, że reguła jest prawdziwa. Przy n=40 wychodzi jednak 412, czyli liczba złożona.
Historia matematyki zna hipotezy potwierdzone dla miliardów przypadków i obalone dopiero przy liczbach astronomicznych. Wielkość próby niczego nie gwarantuje.
Stąd bierze się cała potrzeba dowodzenia: pewność zamiast przekonania. Dowód mówi „dla każdego”, a sprawdzenie tylko „dla tych, które sprawdziłem”.
Sto przykładów to nie dowód — kontrprzykład n² + n + 41
2Jeden kontrprzykład wystarczy
Ciekawa asymetria: żeby coś obalić, wystarczy jeden przypadek. Żeby udowodnić — trzeba argumentu obejmującego wszystkie.
Zdanie „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” obala jeden przykład: dwójka. I to koniec dyskusji, niezależnie od tego, ile innych liczb pierwszych jest nieparzystych.
Ta asymetria jest praktyczna. Gdy zadanie prosi o ocenę prawdziwości zdania, warto najpierw pomyśleć o kontrprzykładzie — bo jeśli istnieje, rozwiązanie zajmie sekundę.
Typowe miejsca, gdzie kontrprzykłady się kryją: zero, jedynka, liczby ujemne, ułamki i przypadki skrajne. Zdania fałszywe zwykle łamią się właśnie tam.
Umiejętność szukania kontrprzykładu jest równie ważna jak umiejętność dowodzenia i znacznie szybsza w użyciu.
3Twierdzenie, założenie, teza
Trzy słowa, które porządkują całe rozumowanie.
Wiele twierdzeń zapisuje się w postaci „jeżeli… to…”. Część po „jeżeli” nazywa się założeniem, część po „to” — tezą.
Przykład: „jeżeli trójkąt jest równoramienny, to kąty przy jego podstawie są równe”. Założenie: równoramienność. Teza: równość kątów.
Dowód polega na pokazaniu, że z założenia wynika teza — nie odwrotnie i nie niezależnie.
Twierdzenie odwrotne powstaje przez zamianę założenia z tezą. Bywa prawdziwe, jak przy twierdzeniu Pitagorasa, ale nie musi. Ze zdania „jeżeli pada, to jest mokro” nie wynika, że jeżeli jest mokro, to pada.
To rozróżnienie ratuje przed najczęstszym błędem logicznym w zadaniach: użyciem tezy jako argumentu.
Budowa dowodu — od założenia do tezy
4Dowód nie wprost
Metoda, która na pierwszy rzut oka wygląda jak sztuczka, a jest jednym z najstarszych narzędzi matematyki.
Zamiast dowodzić tezy wprost, zakłada się, że jest fałszywa, i pokazuje, że prowadzi to do sprzeczności. Skoro zaprzeczenie jest niemożliwe, teza musi być prawdziwa.
Klasyczny przykład: dowód, że 2 nie jest ułamkiem. Zakłada się, że jest, i po kilku krokach wychodzi, że pewna liczba musiałaby być jednocześnie parzysta i nieparzysta. To niemożliwe, więc założenie było błędne.
Ten dowód ma dwa i pół tysiąca lat i wciąż jest w nim wszystko, co potrzebne — nie da się go poprawić ani obalić.
W szkole podstawowej dowody nie wprost nie występują, ale warto o nich wiedzieć, bo pokazują, że dowodzić można na kilka sposobów.
Podobny mechanizm działa w rozumowaniach typu „gdyby tak było, to wyszłoby coś absurdalnego” — używanych także poza matematyką.
5Po co komu dowody poza matematyką
Umiejętność odróżnienia uzasadnienia od przykładu przydaje się wszędzie tam, gdzie ktoś próbuje coś udowodnić słowami.
„Znam kogoś, kto…” — to jest właśnie sprawdzenie jednego przypadku, przedstawione jako reguła. W dyskusjach publicznych bardzo częste.
Odwracanie implikacji — z tego, że coś wynika z czegoś, nie wynika kierunek odwrotny. Ten błąd logiczny stoi za sporą częścią nieporozumień w sporach.
Ciężar dowodu — twierdzenie wymaga uzasadnienia, a nie sama jego negacja. Matematyka uczy tego wprost i jednoznacznie.
Kontrprzykład jako narzędzie — najszybszy sposób zakwestionowania zbyt ogólnego twierdzenia, w każdej dziedzinie.
To dlatego dowodzenie bywa nazywane ćwiczeniem z myślenia, a nie z matematyki. Liczby są tu tylko materiałem.
6W której klasie się to pojawia
Dowodzenie wchodzi późno i w szkole podstawowej jest w skromnym wydaniu.
klasa 6–7 — uzasadnianie odpowiedzi, ocena prawdziwości zdań, kontrprzykłady,
klasa 8 — zadania „wykaż, że” z geometrii i z wyrażeń algebraicznych,
liceum — dowody nie wprost, indukcja matematyczna, dowody w geometrii i teorii liczb.
Narzędziem dowodów algebraicznych jest sprawność w wyrażeniach, a geometrycznych — znajomość własności kątów i figur.
To dział, w którym najbardziej widać różnicę między umiejętnością liczenia a rozumieniem. Uczeń, który świetnie liczy, potrafi tu zupełnie utknąć — i odwrotnie.
7Ćwicz dalej
Materiał jest rozdzielony według poziomu:
Egzamin ósmoklasisty — 7 zadań dowodowych z geometrii, wszystkie otwarte,
Matura — dowody z planimetrii, teorii liczb i nierówności,
Karta pracy PDF — osobnej karty o dowodach jeszcze nie ma; najbliżej tematu są zadania „wykaż, że” z arkuszy egzaminacyjnych, wypisane wyżej.
Test gotowości — celowo inne zdanie niż w przykładach: „kwadrat każdej liczby jest większy od niej samej”. Prawdziwe czy fałszywe? Jeśli od razu sięgasz po jedynkę (12=1, więc nie większy) albo po ułamek (0,52=0,25, czyli mniej), materiał tej strony jest opanowany — bo szukasz kontrprzykładu tam, gdzie zwykle się kryje.
8Przykłady krok po kroku
Trzy własne przykłady: obalenie zdania kontrprzykładem, dowód algebraiczny dla wszystkich przypadków i twierdzenie odwrotne.
Przykład 1 Obalanie kontrprzykładem
Oceń prawdziwość zdania: „każda liczba pierwsza jest nieparzysta”.
Zdanie mówi „każda”, więc do obalenia wystarczy jeden przypadek, który mu przeczy.
Szukam wśród przypadków nietypowych — najmniejszych liczb i wartości skrajnych.
Liczba 2 jest pierwsza (dzieli się tylko przez 1 i przez siebie) i jednocześnie parzysta.
To wystarcza: zdanie jest fałszywe.
Nie muszę sprawdzać żadnych innych liczb pierwszych — jeden kontrprzykład zamyka sprawę.
Poprawna wersja tego zdania brzmiałaby: każda liczba pierwsza większa od dwóch jest nieparzysta.
Odpowiedź: Zdanie jest fałszywe — kontrprzykładem jest liczba 2.
Przykład 2 Dowód dla wszystkich przypadków
Wykaż, że suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 4.
Założenie: liczby są kolejnymi liczbami nieparzystymi.
Zapisuję je ogólnie. Dowolna liczba nieparzysta ma postać 2n+1, gdzie n jest całkowite. Następna nieparzysta to 2n+3.
Sumuję: (2n+1)+(2n+3)=4n+4.
Wyłączam czynnik przed nawias: 4n+4=4(n+1).
Wyrażenie n+1 jest liczbą całkowitą, więc suma ma postać cztery razy liczba całkowita.
Wniosek: ponieważ n było dowolną liczbą całkowitą, teza zachodzi dla każdej pary kolejnych liczb nieparzystych.
Sprawdzenie na przykładzie: 7+9=16 ✓ — ale to tylko ilustracja, nie dowód.
Odpowiedź: Suma wynosi 4(n+1), więc jest podzielna przez 4 zawsze.
Przykład 3 Twierdzenie odwrotne — czy zachodzi
Zdanie „jeżeli liczba jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3” jest prawdziwe. Czy twierdzenie odwrotne też?
Twierdzenie odwrotne powstaje przez zamianę założenia z tezą: „jeżeli liczba jest podzielna przez 3, to jest podzielna przez 6”.
Sprawdzam, czy da się znaleźć kontrprzykład.
Liczba 9 dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 6.
Zatem twierdzenie odwrotne jest fałszywe, choć wyjściowe jest prawdziwe.
To pokazuje, że z prawdziwości zdania nie wynika prawdziwość jego odwrotności — trzeba ją sprawdzać osobno.
Dla porównania: przy twierdzeniu Pitagorasa odwrotne jest prawdziwe i właśnie dlatego służy do sprawdzania prostokątności trójkąta.
Odpowiedź: Nie — twierdzenie odwrotne jest fałszywe, a kontrprzykładem jest liczba 9.
9Najczęstsze błędy
Cztery błędy w rozumowaniu, które wracają najczęściej. Wszystkie dotyczą logiki, nie rachunków.
Uznanie sprawdzonych przykładów za dowód
Skąd się bierze: Sprawdzenie kilku, a nawet stu przypadków mówi tylko o tych przypadkach. Wyrażenie n kwadrat plus n plus czterdzieści jeden daje liczby pierwsze przez czterdzieści kolejnych wartości i dopiero potem zawodzi — sama liczba prób niczego nie gwarantuje.
Jak zrobić dobrze: Zapisz rozumowanie ogólne, w którym zamiast konkretnych liczb występuje litera oznaczająca dowolną wartość. Przykłady zostaw jako ilustrację, nie jako uzasadnienie.
Użycie tezy jako argumentu
Skąd się bierze: Rozumowanie wygląda wtedy poprawnie i prowadzi do właściwego wniosku, ale jest zamknięte w kole — dowodzone zdanie służy za uzasadnienie samego siebie. To najsubtelniejszy błąd w dowodach i najłatwiej go popełnić niechcący.
Jak zrobić dobrze: Przy każdym kroku sprawdź, skąd bierze się użyta informacja: z założenia, z wcześniejszego kroku czy ze znanego twierdzenia. Jeśli z tezy — rozumowanie trzeba przebudować.
Odwracanie implikacji bez sprawdzenia
Skąd się bierze: Z tego, że z jednego zdania wynika drugie, nie wynika kierunek odwrotny. Liczba podzielna przez sześć dzieli się przez trzy, ale dziewiątka dzieli się przez trzy i przez sześć już nie.
Jak zrobić dobrze: Traktuj twierdzenie odwrotne jako osobne zdanie wymagające własnego dowodu albo kontrprzykładu. Czasem jest prawdziwe, jak przy twierdzeniu Pitagorasa, ale trzeba to wykazać.
Szukanie dowodu tam, gdzie wystarczy kontrprzykład
Skąd się bierze: Gdy zdanie jest fałszywe, próba jego udowodnienia zajmuje dużo czasu i nigdy się nie powiedzie. Tymczasem obalenie wymaga jednego przypadku i zajmuje sekundy.
Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz dowodzić, spróbuj zdanie obalić. Sprawdź przypadki nietypowe — zero, jedynkę, liczby ujemne, ułamki. Zdania fałszywe zwykle łamią się właśnie tam.
Zadania z egzaminu ósmoklasisty — udowodnij, uzasadnij, wykaż (geometria)
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.
W dowodzie nie chodzi o wynik, tylko o łańcuszek — dlatego kolor pokazuje każde ogniwo osobno. Zielone jest to, co dane: kąty i długości z treści albo odczytane z rysunku. Czerwony jest kąt (albo długość) wyliczony po drodze — z jednej z trzech reguł: kąty przyległe dają 180°, kąty wierzchołkowe są równe, kąty trójkąta sumują się do 180°. Idąc po czerwonych ogniwach widać całą drogę od założeń do tezy.
Zadania otwarte
Zadanie 1(czerwiec 2020)2 pkttrudniejsze
Trzy proste przecinają się w punktach A, B i C, tworząc trójkąt ABC. Odcinki AC i BC są równej długości. Kąt α to kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku B. Kąt β to kąt przy wierzchołku C między ramieniem CA a przedłużeniem boku BC poza punkt C. Wykaż, że miara kąta α stanowi połowę miary kąta β.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: α = ½β
Krok 1 — co daje równość boków. Skoro ∣AC∣=∣BC∣, trójkąt ABC jest równoramienny o podstawie AB. Kąty przy podstawie są równe:
∣∠BAC∣=∣∠ABC∣=α
Krok 2 — co daje przedłużenie boku. Punkty B, C i punkt na przedłużeniu leżą na jednej prostej, więc kąt β i kąt wewnętrzny ∠ACB są przyległe:
β+∣∠ACB∣=180°, czyli ∣∠ACB∣=180°−β
Krok 3 — suma kątów trójkąta.
α+α+(180°−β)=180°
2α−β=0
2α=β, czyli α=21β. ∎
Wniosek: miara kąta α stanowi połowę miary kąta β — co należało wykazać.
💡 Wskazówka: To jest po prostu twierdzenie o kącie zewnętrznym: kąt zewnętrzny trójkąta równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Tu te dwa kąty są równe (bo trójkąt jest równoramienny), więc kąt zewnętrzny to 2α.
⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie β jako kąta wierzchołkowego do ∠ACB (czyli β=∠ACB). Kąt wierzchołkowy leży po drugiej stronie punktu C względem obu prostych, a β ma jedno ramię wspólne z trójkątem — więc jest przyległy, nie wierzchołkowy.
Zadanie 2(kwiecień 2020)2 pktśrednie
W trójkącie o kątach wewnętrznych α, β, γ miara kąta α jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: β = 90°
Krok 1 — zapisujemy założenie. Przyjmijmy, że β jest większy z dwóch pozostałych kątów. Warunek z treści to:
α=β−γ
Krok 2 — dopisujemy to, co zawsze prawdziwe. Suma kątów wewnętrznych trójkąta:
α+β+γ=180°
Krok 3 — podstawiamy pierwsze równanie do drugiego. W miejsce α wpisujemy β−γ:
(β−γ)+β+γ=180°
Kąty γ się redukują — i to jest sedno całego dowodu:
2β=180°, czyli β=90°. ∎
Wniosek: jeden z kątów trójkąta ma miarę 90°, więc trójkąt jest prostokątny — co należało uzasadnić.
💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wynik nie zależy od konkretnych wartości α i γ — kąt prosty wychodzi zawsze. Właśnie tym dowód różni się od zwykłego zadania rachunkowego.
⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie przykładowych liczb (np. α=30°, γ=60°, β=90°) i uznanie tego za dowód. Jeden przykład niczego nie dowodzi — trzeba pokazać, że tak jest dla każdego takiego trójkąta.
Zadanie 3(marzec 2020)2 pkttrudniejsze
Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych: 2x−15, x+5, 23x−5 oraz 21x+15. Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy 100 cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm
Romb to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są równe — to trzeba pokazać.
Krok 1 — zapisujemy obwód. Dodajemy wszystkie cztery wyrażenia:
(2x−15)+(x+5)+(23x−5)+(21x+15)
Osobno litery: 2x+x+23x+21x=5x. Osobno liczby: −15+5−5+15=0.
Obwód wynosi więc 5x.
Krok 2 — wyznaczamy x.
5x=100, czyli x=20
Krok 3 — obliczamy każdy bok osobno.
2⋅20−15=40−15=25 cm
20+5=25 cm
23⋅20−5=30−5=25 cm
21⋅20+15=10+15=25 cm
Wniosek: wszystkie cztery boki mają po 25 cm, więc czworokąt jest rombem. ∎
Kontrola: 4⋅25=100 cm ✓ zgadza się z podanym obwodem.
💡 Wskazówka: Przy dodawaniu wyrażeń grupuj osobno litery i osobno liczby. Tutaj liczby zredukowały się do zera — dlatego obwód wyszedł tak prosty (5x).
⚠ Najczęstszy błąd: zakończenie na x=20 bez policzenia boków. Samo xnie dowodzi, że czworokąt jest rombem — trzeba pokazać wszystkie cztery długości i napisać wniosek.
Zadanie 4(czerwiec 2019)2 pkttrudniejsze
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣, poprowadzono dwie wysokości: AD (z wierzchołka A na bok BC) i CE (z wierzchołka C na bok AB). Wysokość CE tworzy z ramieniem CA kąt o mierze 20°. Kąt α to kąt między wysokościami AD i CE w punkcie ich przecięcia — ten, który jest rozwarty. Uzasadnij, że kąt α ma miarę 110°.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: α = 110°
Krok 1 — kąt przy wierzchołku A. Wysokość CE jest prostopadła do AB, więc w trójkącie AEC mamy kąt prosty przy E:
∣∠EAC∣=180°−90°−20°=70°
To jest kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku A, czyli ∣∠CAB∣=70°.
Krok 2 — kąt przy wierzchołku B. Trójkąt jest równoramienny (∣AC∣=∣BC∣), więc kąty przy podstawie AB są równe:
∣∠CBA∣=70°
Krok 3 — kąt, pod jakim wychodzi wysokość AD. Wysokość AD jest prostopadła do BC, więc w trójkącie ABD kąt przy D jest prosty:
∣∠BAD∣=180°−90°−70°=20°
Krok 4 — kąt między wysokościami. Oznaczmy przez P punkt przecięcia AD i CE. W trójkącie AEP:
kąt przy E jest prosty (bo CE⊥AB), a kąt przy A to właśnie ∣∠EAP∣=∣∠BAD∣=20°.
Szukany kąt α jest kątem zewnętrznym tego trójkąta przy wierzchołku P, więc równa się sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych:
α=90°+20°=110°∎
Wniosek: kąt α ma miarę 110° — co należało uzasadnić.
💡 Wskazówka: Zamiast kąta zewnętrznego można policzyć po kolei: w trójkącie AEP trzeci kąt wynosi 180°−90°−20°=70°, a α jest do niego przyległy, więc α=180°−70°=110° ✓ Wychodzi to samo.
⚠ Najczęstszy błąd: podanie 70° zamiast 110° — czyli obliczenie drugiego z dwóch kątów, jakie tworzą przecinające się proste. Treść pyta o kąt rozwarty, więc na koniec trzeba sprawdzić, który to.
Zadanie 5(kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i DC. Punkt E leży w połowie ramienia BC. Prostą poprowadzoną przez punkty D i E przedłużono do przecięcia z prostą AB w punkcie F (leżącym poza odcinkiem AB, po stronie B). Uzasadnij, że pole trapezu ABCD i pole trójkąta AFD są równe.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Trójkąty DCE i FBE są przystające, więc oba pola są równe.
Trójkąt AFD powstaje z trapezu przez odcięcie kawałka DCE i doklejenie kawałka BEF. Wystarczy więc pokazać, że te dwa kawałki mają równe pola — a najprościej udowodnić, że są przystające.
Porównujemy trójkąty DCE i FBE:
(1) Bok. Punkt E jest środkiem odcinka BC, więc ∣CE∣=∣EB∣.
(2) Kąt. Podstawy trapezu są równoległe (DC∥AB), a prosta DF je przecina. Kąty ∠DCE i ∠FBE są więc naprzemianległe, czyli równe:
∣∠DCE∣=∣∠FBE∣
(3) Drugi kąt. Kąty ∠DEC i ∠FEB są wierzchołkowe (proste BC i DF przecinają się w E), więc też są równe:
∣∠DEC∣=∣∠FEB∣
Z cechy kąt–bok–kąt trójkąty DCE i FBE są przystające, a więc mają równe pola.
Wniosek. Zapiszmy oba pola:
PABCD=PABED+PDCE • PAFD=PABED+PFBE
Skoro PDCE=PFBE, to PABCD=PAFD. ∎
💡 Wskazówka: To jest klasyczny trik „przełóż kawałek”: trapez zamienia się w trójkąt o tym samym polu. Ta sama konstrukcja wyjaśnia, skąd bierze się wzór na pole trapezu.
⚠ Najczęstszy błąd: liczenie obu pól ze wzorów, z literami na podstawy i wysokość. Da się tak, ale rachunek robi się długi — a wystarczy jedno przystawanie trójkątów.
Zadanie 6(kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze
Trzy proste przecinają się tak, że tworzą trójkąt ABC: jedna z nich przechodzi przez A i B, druga przez A i C, trzecia przez B i C. Kąt między prostą AB a przedłużeniem boku CA poza punkt A ma miarę 120° (jest to kąt przyległy do kąta wewnętrznego przy A). Kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku C oraz kąt wierzchołkowy do kąta wewnętrznego przy wierzchołku B oznaczono tą samą literą α. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Wszystkie kąty mają po 60°
Krok 1 — kąt przy wierzchołku A. Kąt 120° i kąt wewnętrzny ∠BAC są przyległe (mają wspólne ramię AB, a pozostałe ramiona tworzą prostą CA):
∣∠BAC∣=180°−120°=60°
Krok 2 — kąt przy wierzchołku B. Zaznaczony przy B kąt α jest wierzchołkowy do kąta wewnętrznego ∠ABC, a kąty wierzchołkowe są równe:
∣∠ABC∣=α
Krok 3 — kąt przy wierzchołku C. Tu α jest wprost kątem wewnętrznym:
∣∠ACB∣=α
Krok 4 — suma kątów trójkąta.
60°+α+α=180°
2α=120°, czyli α=60°
Wniosek: wszystkie trzy kąty trójkąta mają po 60°, więc trójkąt ABC jest równoboczny (a nie tylko równokątny — w trójkącie to jedno i to samo). ∎
💡 Wskazówka: Zapamiętaj dwie reguły przy przecinających się prostych: przyległe dają razem 180°, a wierzchołkowe są równe. Prawie każdy taki dowód sprowadza się do zastosowania ich po kolei.
⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi i przyjęcie ∠BAC=120°. Wtedy suma kątów przekracza 180° — to od razu sygnał, że coś jest nie tak.
Zadanie 7(materiały CKE)2 pkttrudniejsze
Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Kąt między dwusiecznymi ma miarę 90°
Krok 1 — kąty przy jednym boku równoległoboku. Boki AD i BC są równoległe, a bok AB je przecina. Kąty ∠BAD i ∠ABC są więc jednostronne wewnętrzne i sumują się do kąta półpełnego:
∣∠BAD∣+∣∠ABC∣=180°
Krok 2 — dwusieczne dzielą te kąty na pół. Niech P będzie punktem przecięcia dwusiecznych. Wtedy:
∣∠PAB∣=21∣∠BAD∣ • ∣∠PBA∣=21∣∠ABC∣
Krok 3 — sumujemy połówki. Skoro całości dają 180°, to połówki dają połowę tego:
∣∠PAB∣+∣∠PBA∣=21⋅180°=90°
Krok 4 — trzeci kąt trójkąta ABP.
∣∠APB∣=180°−90°=90°
Wniosek: dwusieczne przecinają się pod kątem prostym, czyli są prostopadłe. ∎
Warto zauważyć, że wynik nie zależy od kształtu równoległoboku — działa dla każdego, bo jedyne, czego użyliśmy, to suma 180°.
💡 Wskazówka: Kluczowy moment jest w kroku 3: skoro dwa kąty sumują się do 180°, to ich połowy sumują się do 90°. Ten sam chwyt działa wszędzie tam, gdzie pojawiają się dwusieczne kątów jednostronnych.
⚠ Najczęstszy błąd: rozpoczęcie od założenia konkretnych miar kątów (np. 60° i 120°). To pokazuje tylko jeden przypadek — dowód musi obejmować każdy równoległobok, więc kąty trzeba zostawić jako litery.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1. α = ½β
2. β = 90°
3. x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm
4. α = 110°
5. Trójkąty DCE i FBE są przystające, więc oba pola są równe.
6. Wszystkie kąty mają po 60°
7. Kąt między dwusiecznymi ma miarę 90°
Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Dowody w algebrze — kartkówka, liceum klasa 4
Podzielność, parzystość, nierówności prawdziwe dla każdej liczby.
Ciągiem zdań, z których każde wynika z poprzednich, prowadzącym od założenia do tezy. Jego siła polega na tym, że dotyczy wszystkich przypadków naraz, a nie tylko sprawdzonych. Dlatego twierdzenie raz udowodnione pozostaje prawdziwe na zawsze.
Dlaczego sprawdzenie wielu przykładów to za mało?
Bo mówi tylko o tych przykładach. Znane są wyrażenia dające liczby pierwsze przez czterdzieści kolejnych wartości i zawodzące dopiero potem, a także hipotezy potwierdzone dla miliardów przypadków i obalone przy liczbach astronomicznych.
Ile kontrprzykładów trzeba, żeby obalić twierdzenie?
Jeden. Zdanie „każda liczba pierwsza jest nieparzysta” obala sama dwójka i to zamyka sprawę. Ta asymetria jest praktyczna: gdy masz ocenić prawdziwość zdania, najpierw poszukaj kontrprzykładu, bo jeśli istnieje, rozwiązanie zajmie sekundę.
Co to jest założenie i teza?
Twierdzenie ma postać „jeżeli… to…”. Część po słowie „jeżeli” to założenie, część po „to” — teza. Dowód polega na pokazaniu, że z założenia wynika teza. Zamiana ich miejscami daje twierdzenie odwrotne, które trzeba sprawdzać osobno.
Na czym polega dowód nie wprost?
Zakłada się, że teza jest fałszywa, i pokazuje, że prowadzi to do sprzeczności. Skoro zaprzeczenie jest niemożliwe, teza musi być prawdziwa. Tak właśnie dowiedziono dwa i pół tysiąca lat temu, że pierwiastek z dwóch nie jest ułamkiem.
Czy umiejętność dowodzenia przydaje się poza matematyką?
Tak — uczy odróżniać uzasadnienie od pojedynczego przykładu. Zwrot „znam kogoś, kto…” to właśnie sprawdzenie jednego przypadku podane jako reguła. Matematyka pokazuje też wprost, że twierdzenie wymaga dowodu, a nie sama jego negacja.
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
