Strona główna › Geometria płaska › Pole trójkąta prostokątnego
Pole trójkąta prostokątnego
Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu jego przyprostokątnych: P = a · b2. Jedna przyprostokątna jest wysokością opuszczoną na drugą, więc nie trzeba szukać osobnej wysokości.
Krótko: Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b to P = a · b2. Gdy znasz przeciwprostokątną c i przyprostokątną a, najpierw policz b = √c² − a².
1Wzór na pole trójkąta prostokątnego
Dwa trójkąty prostokątne o tych samych przyprostokątnych tworzą prostokąt a × b. Pole prostokąta to a · b, więc pole jednego trójkąta to połowa: a · b2. Wzór P = c · h2 z przeciwprostokątną c i wysokością h opuszczoną na nią daje ten sam wynik.
2Gdy brakuje jednej przyprostokątnej
Jeśli znasz przeciwprostokątną c i jedną przyprostokątną a, drugą policz z twierdzenia Pitagorasa: b = √c² − a². Dopiero potem podstaw do wzoru na pole.
| przyprostokątne | przeciwprostokątna | pole |
|---|---|---|
| 3 i 4 | 5 | 6 |
| 5 i 12 | 13 | 30 |
| 6 i 8 | 10 | 24 |
| 8 i 15 | 17 | 60 |
3Trójkąty prostokątne szczególne
W trójkącie prostokątnym równoramiennym (45°, 45°, 90°) przyprostokątne są równe, więc P = a²2. W trójkącie 30°, 60°, 90° przyprostokątne mają długości a i a√3, więc P = a²√32.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Pole z przyprostokątnych
Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Oblicz pole.
- P = 6 · 82 = 24 cm².
Odpowiedź: P = 24 cm²
Przykład 2 Brakująca przyprostokątna
Przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz pole.
- b = √169 − 25 = √144 = 12 cm.
- P = 5 · 122 = 30 cm².
Odpowiedź: P = 30 cm²
Przykład 3 Trójkąt 30°-60°-90°
Krótsza przyprostokątna ma 3 cm, a kąty trójkąta to 30°, 60°, 90°. Oblicz pole.
- Dłuższa przyprostokątna: 3√3 cm.
- P = 3 · 3√32 = 9√32 ≈ 7,79 cm².
Odpowiedź: P = 9√32 cm² ≈ 7,79 cm²
5Najczęstsze błędy
P = a · b
Skąd się bierze: Pominięcie dzielenia przez 2.
Jak zrobić dobrze: To pole prostokąta. Trójkąt ma połowę: a · b2.
Użycie przeciwprostokątnej jako przyprostokątnej
Skąd się bierze: Podstawienie najdłuższego boku do wzoru a · b2.
Jak zrobić dobrze: We wzorze są dwie przyprostokątne — boki przy kącie prostym.
Brak sprawdzenia, który bok brakuje
Skąd się bierze: W zadaniu podano c i a, ale liczymy jak dla c i b.
Jak zrobić dobrze: Zawsze licz brakujący bok z Pitagorasa: b = √c² − a².
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Przyprostokątne 3 i 4. Pole:
3 · 42 = 6.
2. Przyprostokątne 5 i 12. Pole:
5 · 122 = 30.
3. Przyprostokątne 10 i 7. Pole:
10 · 72 = 35.
4. Pole wynosi 24, jedna przyprostokątna 6. Druga:
6 · b2 = 24, więc b = 8.
5. Trójkąt prostokątny równoramienny z przyprostokątną 4. Pole:
4 · 42 = 8.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Twierdzenie Pitagorasa” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na pole trójkąta prostokątnego?
P = a · b2, gdzie a i b to przyprostokątne.
Jak obliczyć pole trójkąta prostokątnego, gdy znam przeciwprostokątną?
Policz drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa i podstaw do wzoru a · b2.
Czy wysokość trójkąta prostokątnego jest przyprostokątną?
Tak. Wysokość opuszczona na jedną przyprostokątną jest drugą przyprostokątną.
Czy pole zależy od przeciwprostokątnej?
Pośrednio: przeciwprostokątna jest związana z przyprostokątnymi wzorem Pitagorasa, ale do pola wystarczą przyprostokątne.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
