Strona główna › Ułamki › Zamiana ułamka okresowego na zwykły
Zamiana ułamka okresowego na zwykły
Ułamek okresowy zamieniamy na zwykły, oznaczając go przez x, mnożąc przez potęgę 10 równą długości okresu i odejmując równania. Na przykład 0,(3) = 13.
Krótko: Dla 0,(abc) wynik to abc999, np. 0,(27) = 2799 = 311. Ogólnie: pomnóż x przez 10, 100, 1000…, żeby okres „przesunął się”, i odejmij.
1Metoda dla okresu zaczynającego się po przecinku
Okres to cyfry powtarzające się w zapisie dziesiętnym, zapisane w nawiasie. Dla x = 0,(3): 10x = 3,(3). Odejmujemy: 10x − x = 3, więc 9x = 3 i x = 39 = 13.
| ułamek okresowy | zwykły |
|---|---|
| 0,(1) | 19 |
| 0,(2) | 29 |
| 0,(3) | 13 |
| 0,(6) | 23 |
| 0,(9) | 1 |
| 0,(27) | 311 |
2Okres z cyframi przed nim (np. 0,1(6))
Pomnóż x tak, by dwa zapisy miały ten sam „ogon” okresu, i odejmij. Dla x = 0,1(6): 10x = 1,(6), a 100x = 16,(6). Odejmujemy: 100x − 10x = 15, więc 90x = 15 i x = 1590 = 16.
3Dlaczego 0,(9) = 1
Dla x = 0,(9): 10x − x = 9, więc x = 1. Różnica między 1 a liczbą 0,999… jest mniejsza od każdej liczby dodatniej, dlatego są to dwa zapisy tej samej liczby.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Okres jednocyfrowy
Zamień 0,(3) na ułamek zwykły.
- x = 0,(3), więc 10x = 3,(3).
- 10x − x = 3, czyli 9x = 3.
- x = 39 = 13.
Odpowiedź: 13
Przykład 2 Okres dwucyfrowy
Zamień 0,(27) na ułamek zwykły.
- x = 0,(27), więc 100x = 27,(27).
- 100x − x = 27, czyli 99x = 27.
- x = 2799 = 311.
Odpowiedź: 311
Przykład 3 Cyfry przed okresem
Zamień 0,1(6) na ułamek zwykły.
- x = 0,1(6); 10x = 1,(6); 100x = 16,(6).
- 100x − 10x = 15, czyli 90x = 15.
- x = 1590 = 16.
Odpowiedź: 16
5Najczęstsze błędy
0,(3) = 310
Skąd się bierze: Czytamy cyfrę po przecinku jak w ułamku skończonym.
Jak zrobić dobrze: Okres powtarza się w nieskończoność. Użyj metody: 0,(3) = 39 = 13.
Zły mnożnik przy dłuższym okresie
Skąd się bierze: Mnożenie 0,(27) przez 10 zamiast przez 100.
Jak zrobić dobrze: Mnożnik to 10 do potęgi równej długości okresu: dla dwóch cyfr — 100.
Brak skrócenia wyniku
Skąd się bierze: Zatrzymanie się na 2799.
Jak zrobić dobrze: Skróć przez NWD: 2799 = 311.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. 0,(3) to:
9x = 3, więc x = 13.
2. 0,(6) to:
69 = 23.
3. 0,(45) to:
4599 = 511.
4. 0,(1) to:
9x = 1, więc x = 19.
5. 0,1(6) to:
90x = 15, więc x = 16.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ułamki dziesiętne” (klasa 5), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?
Oznacz go przez x, pomnóż przez 10, 100… tak, by okres się „przesunął”, odejmij równania i rozwiąż równanie.
Ile wynosi 0,(9)?
Dokładnie 1.
Jaki wzór jest na 0,(ab)?
ab99, na przykład 0,(27) = 2799 = 311.
Czym jest okres ułamka?
Powtarzającą się grupą cyfr w rozwinięciu dziesiętnym, zapisywaną w nawiasie.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
