Sprawdzian · liceum, klasa 1

Podzielność liczb całkowitych – zadanie 3 z rozwiązaniem

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 121k² + 22k - 13 przez 11 jest równa 9.

2pkt · sprawdzian

Treść zadania 3 i rozwiązanie krok po kroku

Podzielność liczb całkowitych

liceum, klasa 1sprawdzian2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

k

reszta z dzielenia liczby

121 k^{2} + 22 k - 13

przez

11

jest równa

9

Rozwiązanie krok po kroku

Wyłączamy $11$ przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów i z części wyrazu wolnego: $121 k^{2} + 22 k - 13 = 11 (11 k^{2} + 2 k - 2) + 9$ .
Dla każdego całkowitego $k$ wyrażenie $11 k^{2} + 2 k - 2$ jest liczbą całkowitą, a $0 ⩽ 9 < 11$ , więc reszta z dzielenia przez $11$ jest równa $9$ .

Punktacja

1 pkt — zapis liczby w postaci $11 \cdot (\dots) + 9$ : $121 k^{2} + 22 k - 13 = 11 (11 k^{2} + 2 k - 2) + 9$ .
1 pkt — stwierdzenie, że $11 k^{2} + 2 k - 2$ jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego $k$ , oraz że $0 ⩽ 9 < 11$ . Stąd reszta wynosi $9$ .

Sklep Nie każ mu liczyć!

Grupa A jest za darmo. Grupy B–E mają te same typy zadań, inne liczby i pełny klucz — do druku od razu po zakupie.