Przekątne równoległoboku ABCD mają długości |AC|…

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

liceum, klasa 1sprawdzian2 pkt

Przekątne równoległoboku

A B C D

mają długości

∣ A C ∣ = 6, ∣ B D ∣ = 10.

Wierzchołki

E

F

G

oraz

H

rombu

E F G H

leżą na bokach równoległoboku

A B C D

. Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Oblicz długość boku rombu $E F G H$ . Zapisz obliczenia.

Odpowiedź

∣ E F ∣ = \frac{15}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Oznaczmy długość boku rombu przez

s

i przyjmijmy, że

E \in A D

F \in A B

G \in B C

H \in C D

. Bok

E F

jest równoległy do

B D

, więc trójkąty

A E F

A D B

są podobne; bok

F G

jest równoległy do

A C

, więc trójkąty

F B G

A B C

są podobne. Zatem

\frac{∣ A F ∣}{∣ A B ∣} = \frac{s}{10}, \frac{∣ B F ∣}{∣ A B ∣} = \frac{s}{6} .

Ponieważ

∣ A F ∣ + ∣ B F ∣ = ∣ A B ∣

, to

\frac{s}{10} + \frac{s}{6} = 1, \frac{16 s}{60} = 1, s = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} .

Punktacja

1 pkt — zapisanie zależności z podobieństwa trójkątów: $\frac{∣ A F ∣}{∣ A B ∣} = \frac{s}{10}$ , $\frac{∣ B F ∣}{∣ A B ∣} = \frac{s}{6}$ oraz $∣ A F ∣ + ∣ B F ∣ = ∣ A B ∣$ .
1 pkt — rozwiązanie równania $\frac{s}{10} + \frac{s}{6} = 1$ : $s = \frac{15}{4}$ (albo $3, 75$ ).

Podobieństwo i twierdzenie Talesa – zadanie 5 z rozwiązaniem