Kartkówka · liceum, klasa 4

Dowody w geometrii – zadanie 4 z rozwiązaniem

Trójkąt ABC jest równoramienny, |AC| = |BC|, a CD jest jego wysokością. Wykaż, że punkt D jest środkiem odcinka AB.

2pkt · kartkówka

Treść zadania 4 i rozwiązanie krok po kroku

Dowody w geometrii

liceum, klasa 4kartkówka2 pkt

Trójkąt

A B C

jest równoramienny,

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

, a

C D

jest jego wysokością. Wykaż, że punkt

D

jest środkiem odcinka

A B

Rozwiązanie krok po kroku

$C D ⊥ A B$ , więc trójkąty $A D C$ i $B D C$ są prostokątne (kąt prosty przy $D$ ).
Z twierdzenia Pitagorasa: $∣ A D ∣^{2} = ∣ A C ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2}$ oraz $∣ B D ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2}$ .
Ponieważ $∣ A C ∣ = ∣ B C ∣$ , to $∣ A D ∣ = ∣ B D ∣$ , czyli $D$ jest środkiem odcinka $A B$ .

Odpowiedź

$∣ A D ∣ = ∣ B D ∣$ , więc $D$ jest środkiem $A B$

Punktacja

1 pkt — Trójkąty $A D C$ i $B D C$ są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną $C D$ i równe przeciwprostokątne $∣ A C ∣ = ∣ B C ∣$ .
1 pkt — Z twierdzenia Pitagorasa $∣ A D ∣ = ∣ B D ∣$ , więc $D$ jest środkiem $A B$ .

Sklep Nie każ mu liczyć!

Grupa A jest za darmo. Grupy B–E mają te same typy zadań, inne liczby i pełny klucz — do druku od razu po zakupie.