Zadania o walcu: przekrój osiowy, objętość i pole

W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy \(AD=4\sqrt{3}\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\) oraz \(AB=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}=6\), więc promień podstawy jest równy \(r=3\). Objętość walca wynosi \(V=\pi r^{2}AD=18\sqrt{3}\pi\), a pole powierzchni całkowitej \(P_c=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot AD=18\pi+12\sqrt{3}\pi=6\pi(3+2\sqrt{3})\).

Z rysunku odczytujemy, że odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) — średnicą podstawy. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(ABD\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(A\), a \(BD\) jest jego przeciwprostokątną. Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym \[|AD|=|BD|\sin30^{\circ}=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\qquad|AB|=|BD|\cos30^{\circ}=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2=6.\] Odcinek \(AB\) jest średnicą, więc promień podstawy wynosi \(r=3\), a wysokość walca \(H=2\sqrt3\). Objętość walca: \[V=\pi r^{2}H=\pi\cdot9\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\,\pi.\] Pole powierzchni całkowitej: \[P_c=2\pi r^{2}+2\pi rH=18\pi+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=18\pi+12\sqrt3\,\pi=6\pi\left(3+2\sqrt3\right).\] **Odpowiedź.** \(V=18\sqrt3\,\pi\) oraz \(P_c=18\pi+12\sqrt3\,\pi\)

**1 pkt** – wyznaczenie \(r=3\) albo \(H=2\sqrt3\), ewentualnie zapisanie układu zależności trygonometrycznych **2 pkt** – wyznaczenie \(r=3\) i \(H=2\sqrt3\) **3 pkt** – poprawne obliczenie objętości \(18\sqrt3\,\pi\) albo pola całkowitego \(18\pi+12\sqrt3\,\pi\) **4 pkt** – poprawne obliczenie obu wielkości

IV. Rozumowanie i argumentacja. X.4) i X.5) Zdający rozpoznaje kąty w walcu oraz oblicza objętość i pole powierzchni walca z wykorzystaniem trygonometrii.

W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy \(AD=4\sqrt{3}\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\) oraz \(AB=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}=6\), więc promień podstawy jest równy \(r=3\). Objętość walca wynosi \(V=\pi r^{2}AD=18\sqrt{3}\pi\), a pole powierzchni całkowitej \(P_c=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot AD=18\pi+12\sqrt{3}\pi=6\pi(3+2\sqrt{3})\).

**Krok \(1\).** pkt: wyznaczenie r = \(3\) albo H = \(2\sqrt{3}\), ewentualnie zapisanie układu równań trygonometrycznych. **Krok \(2\).** pkt: wyznaczenie r = \(3\) i H = \(2\sqrt{3}\). **Krok \(3\).** pkt: poprawne obliczenie objętości \(18\pi \)√\(3\) albo pola całkowitego \(18\pi \) + \(12\pi \)√\(3\). **Krok \(4\).** pkt: poprawne obliczenie obu wielkości. **Odpowiedź.** W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy \(AD=4\sqrt{3}\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\) oraz \(AB=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}=6\), więc promień podstawy jest równy \(r=3\). Objętość walca wynosi \(V=\pi r^{2}AD=18\sqrt{3}\pi\), a pole powierzchni całkowitej \(P_c=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot AD=18\pi+12\sqrt{3}\pi=6\pi(3+2\sqrt{3})\).

1 pkt: wyznaczenie r = 3 albo H = 2√3, ewentualnie zapisanie układu równań trygonometrycznych. 2 pkt: wyznaczenie r = 3 i H = 2√3. 3 pkt: poprawne obliczenie objętości 18π√3 albo pola całkowitego 18π + 12π√3. 4 pkt: poprawne obliczenie obu wielkości.

1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca lub promieniem podstawy walca), np.: \(\frac{H}{4\sqrt{3}}=\sin 30^{\circ}\), \(\frac{2r}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

**D.** \(\frac43\)

Oznaczmy promień podstawy walca przez \(r\); wtedy promień podstawy stożka wynosi \(2r\), a wspólna wysokość — \(h\). \[V_{\text{st}}=\frac13\pi(2r)^{2}h=\frac43\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{w}}=\pi r^{2}h.\] Stąd \[\frac{V_{\text{st}}}{V_{\text{w}}}=\frac{\frac43\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac43.\] **Odpowiedź.** Stosunek jest równy \(\frac43\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości […] walca, stożka […].

**P, P**

Przy skali podobieństwa \(k=2\) pola zwiększają się \(k^2=4\) razy, a objętości \(k^3=8\) razy. Zatem \[P_{C_2}=4\cdot12\pi=48\pi,\qquad V_{C_2}=8\cdot4\pi=32\pi.\] Oba stwierdzenia są prawdziwe: **P, P**.

**1 pkt** – poprawna ocena obu stwierdzeń: **P, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna, niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VIII.9) Zdający wykorzystuje zależności między polami figur podobnych. X.6) Zdający wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

**C.** \(16\pi\)

Z równania na pole powierzchni bocznej \[2\pi rh=16\pi\] i \(r=2\) otrzymujemy \(h=4\). Zatem \[V=\pi r^2h=\pi\cdot2^2\cdot4=16\pi.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętość i pole powierzchni walca.

**D.** \(4\pi\)

Ze wzoru na objętość walca \(V=\pi r^{2}h\) dla \(r=2\) otrzymujemy \[4\pi h=16\pi^{2}\quad\Longrightarrow\quad h=4\pi.\] **Odpowiedź.** \(h=4\pi\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości […] walca […].

\[V=18\pi\sqrt2.\]

Niech \(r\) oznacza promień podstawy walca, a \(h\) jego wysokość. Z warunków zadania otrzymujemy \[2r\cdot h=12\sqrt3\] oraz \[2\pi r^2+2\pi rh=12\pi(\sqrt3+1).\] Z pierwszego równania \[h=\frac{6\sqrt3}{r}.\] Podstawiamy do drugiego równania: \[2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{6\sqrt3}{r}=12\pi(\sqrt3+1),\] \[2\pi r^2+12\sqrt3\pi=12\sqrt3\pi+12\pi,\] \[r^2=6.\] Zatem \(r=\sqrt6\) oraz \[h=\frac{6\sqrt3}{\sqrt6}=3\sqrt2.\] Objętość walca wynosi \[V=\pi r^2h=\pi\cdot6\cdot3\sqrt2=18\pi\sqrt2.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(18\pi\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie promienia i wysokości walca: \(r=\sqrt6\) oraz \(h=3\sqrt2\) **1 pkt** – zapisanie dwóch równań: \(2rh=12\sqrt3\) oraz \(2\pi r^2+2\pi rh=12\pi(\sqrt3+1)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni walca.

**B.** \(30\,\mathrm{cm}^{3}\)

Oba stożki mają wspólną podstawę, więc ich objętości \(V=\frac13\pi r^{2}h\) różnią się wyłącznie wysokością — są do niej wprost proporcjonalne. Stosunek wysokości wynosi \(3:2\), więc taki sam jest stosunek objętości. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\,\mathrm{cm}^{3}\), zatem \[\frac{V_{\text{dłuższy}}}{12}=\frac32\quad\Longrightarrow\quad V_{\text{dłuższy}}=18\,\mathrm{cm}^{3}.\] Objętość całej bryły: \[V=12+18=30\,\mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=30\,\mathrm{cm}^{3}\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11. Bryły — zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka i kuli, także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym (G11.2).

**B.** \(108\pi\sqrt2\)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku \(a\); z przekątnej \(a\sqrt2=12\) otrzymujemy \(a=6\sqrt2\). Bok kwadratu to jednocześnie średnica podstawy i wysokość walca, więc \[r=3\sqrt2,\qquad H=6\sqrt2.\] Objętość: \[V=\pi r^{2}H=\pi\cdot18\cdot6\sqrt2=108\sqrt2\,\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=108\sqrt2\,\pi\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(12\)

Pole powierzchni kuli o promieniu \(4\) jest równe \(4\pi\cdot16=64\pi\). Pole całkowite stożka o promieniu podstawy \(4\) i tworzącej \(l\) wynosi \[P_c=\pi\cdot16+\pi\cdot4l=16\pi+4\pi l.\] Z równości pól \(16\pi+4\pi l=64\pi\), więc \(l=12\). **Odpowiedź.** \(l=12\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni I II i interpretowanie i objętość walca, stożka, kuli (G11.2). reprezentacji. D C

**C.** \(3\)

Wysokość walca jest równa promieniowi podstawy, więc \(H=r\) i \[V=\pi r^{2}H=\pi r^{3}.\] Z warunku \(\pi r^{3}=27\pi\) otrzymujemy \(r^{3}=27\), czyli \(r=3\). **Odpowiedź.** \(r=3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

cos α=\(9\)/√\(106=9\)√\(\frac{106}{106}\). Ze wzoru V=(πH/\(3\))(\(r^{2}\)+rR+\(R^{2}\)), przy H=\(10\), V=\(840\pi \) i r=\(6\), otrzymujemy R=\(12\). Przekrój osiowy jest trapezem o podstawach \(24\) i \(12\) oraz wysokości \(10\). Rzut poziomy przekątnej ma długość \(18\), a przekątna \(2\sqrt{106}\), więc cos α=\(18\)/(\(2\sqrt{106}\)).

Podstawiamy dane do wzoru na objętość stożka ściętego: \[840\pi=\frac{\pi\cdot10}{3}\left(6^{2}+6R+R^{2}\right).\] Dzielimy obie strony przez \(\pi\) i mnożymy przez \(\tfrac{3}{10}\): \[252=R^{2}+6R+36,\qquad R^{2}+6R-216=0.\] Wyróżnik \(\Delta=36+864=900\), \(\sqrt{\Delta}=30\), więc \[R=\frac{-6+30}{2}=12\qquad\text{lub}\qquad R=\frac{-6-30}{2}=-18.\] Promień jest dodatni, więc \(R=12\) (warunek \(r<R\) jest spełniony). Przekrojem osiowym stożka ściętego jest trapez równoramienny o podstawach \(2R=24\) i \(2r=12\) oraz wysokości \(10\). Rzut przekątnej tego trapezu na dłuższą podstawę ma długość \[\frac{24}{2}+\frac{12}{2}=18,\] a sama przekątna \[d=\sqrt{18^{2}+10^{2}}=\sqrt{424}=2\sqrt{106}.\] Kąt \(\alpha\) nachylenia przekątnej do dłuższej podstawy spełnia \[\cos\alpha=\frac{18}{2\sqrt{106}}=\frac{9}{\sqrt{106}}=\frac{9\sqrt{106}}{106}\approx0{,}874.\] **Odpowiedź.** \(\cos\alpha=\dfrac{9\sqrt{106}}{106}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający wyznaczy promień \(R\) większej podstawy: \(R=12\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający wyznaczy promień \(R\) większej podstawy: \(R=12\) i długość odcinka \(EB\): \(\lvert EB\rvert=18\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający obliczy długość przekątnej trapezu \(\lvert BD\rvert=2\sqrt{106}\) albo obliczy tangens kąta \(DBE\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy \(\cos\lvert\sphericalangle DBE\rvert=\frac{9\sqrt{106}}{106}\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w walcach i stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (9.3). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).

**A.** \(\frac53\pi r^3\)

**Krok \(1\).** Bryła jest złożona z dwóch znanych brył, a jej objętość to po prostu suma objętości części: \[V=V_{\text{walca}}+V_{\text{półkuli}}.\] Kluczowa informacja z treści: promień podstawy walca, wysokość walca i promień półkuli to ta sama liczba \(r\). **Krok \(2\).** Objętość walca liczymy ze wzoru \(V=\pi r^2 H\). Tu wysokość \(H=r\), więc \[V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot r=\pi r^3.\] **Krok \(3\).** Objętość całej kuli o promieniu \(r\) to \(\frac43\pi r^3\). Półkula to dokładnie połowa kuli: \[V_{\text{półkuli}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3.\] **Krok \(4\).** Dodajemy obie objętości, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[V=\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac33\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac53\pi r^3.\] **Uwaga.** Połowa kuli oznacza połowę **objętości**, a nie połowę promienia. Gdyby ktoś zmniejszył promień, wynik byłby zupełnie inny. **Odpowiedź.** A: \(\dfrac53\pi r^3\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **G11.2:** zdający oblicza pole powierzchni i objętość walca, stożka i kuli.

B

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach \(2r\times H\), gdzie \(r\) to promień podstawy, a \(H\) — wysokość walca. Z treści wynika, że jest to kwadrat, więc \[2r=H.\] Przekątna kwadratu o boku \(a\) jest równa \(a\sqrt2\), a z treści przekątna wynosi \(10\sqrt2\). Zatem \[a\sqrt2=10\sqrt2,\qquad a=10.\] Stąd \(2r=10\), czyli \(r=5\), oraz \(H=10\). Pole powierzchni bocznej walca liczymy ze wzoru \(P_b=2\pi rH\): \[P_b=2\pi\cdot5\cdot10=100\pi.\] **Odpowiedź.** B. \(100\pi\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

**A.** \(4\)

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o bokach \(2\pi r\) i \(H\), więc \(P_b=2\pi rH\). Dla \(r=2\) \[4\pi H=16\pi\quad\Longrightarrow\quad H=4.\] **Odpowiedź.** \(H=4\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[r=\sqrt{\frac../../{6\pi}},\qquad h=\sqrt{\frac{2P}{3\pi}}=2r,\qquad V_{\max}=\frac../../{3}\sqrt{\frac../../{6\pi}}.\]

Z warunku \(P=2\pi r^2+2\pi rh\) mamy \[h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}.\] Objętość jako funkcja promienia wynosi \[V(r)=\pi r^2h=\frac{Pr-2\pi r^3}{2},\qquad 0<r<\sqrt{\frac../../{2\pi}}.\] Pochodna \[V'(r)=\frac{P-6\pi r^2}{2}\] zmienia znak z dodatniego na ujemny dla \(r=\sqrt{\frac../../{6\pi}}\), więc tam występuje maksimum. Po podstawieniu otrzymujemy podane \(h\) i \(V_{\max}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Schemat CKE ma trzy etapy, łącznie 7 pkt.** **Etap I: 3 pkt** – po 1 pkt za wyznaczenie \(h\), zapis funkcji \(V(r)\) i jej dziedziny. **Etap II: 3 pkt** – po 1 pkt za pochodną, jej miejsce zerowe oraz badanie znaku i uzasadnienie maksimum. **Etap III: 1 pkt** – obliczenie \(V_{\max}=\) […] oraz \(h=\sqrt{\tfrac{2P}{3\pi}}\).

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** zastosowanie pochodnej do zadania optymalizacyjnego.

**B.** \(\frac{\sqrt2}{2}\)

Z rysunku odczytujemy, że \(O\) jest środkiem górnej podstawy, \(S\) — środkiem dolnej, a \(A\) leży na okręgu dolnej podstawy. Odcinek \(OS\) jest wysokością walca, więc jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a zatem także do promienia \(SA\). Trójkąt \(OSA\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(S\). Z założenia \(|AS|=|OS|\), więc trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego kąty ostre mają po \(45^{\circ}\). Przeciwprostokątna wynosi \[|OA|=\sqrt{|OS|^{2}+|AS|^{2}}=|AS|\sqrt2,\] zatem \[\sin\angle OAS=\frac{|OS|}{|OA|}=\frac{|AS|}{|AS|\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2.\] **Odpowiedź.** \(\sin\angle OAS=\frac{\sqrt2}2\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. (0−1) 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje Wersja Wersja II. Wykorzystanie w walcach i w stożkach kąt między odcinkami I II i interpretowanie oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami reprezentacji. (9.3). B C

\(r=\frac{\sqrt3}{3}\) oraz \(V_{\max}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi\).

**Krok \(1\).** Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy, a przez \(h\) wysokość walca. Z warunku zadania \[2\pi r^2+2\pi rh=2\pi,\qquad\text{czyli}\qquad r^2+rh=1,\] skąd \(h=\frac{1-r^2}{r}\). Ponieważ \(r>0\) i \(h>0\), dziedziną jest przedział \(r\in(0,1)\). **Krok \(2\).** Objętość walca zapisujemy jako funkcję zmiennej \(r\): \[V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\cdot\frac{1-r^2}{r}=\pi\left(r-r^3\right),\qquad r\in(0,1).\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy pochodną i jej miejsce zerowe: \[V^{\prime}(r)=\pi\left(1-3r^2\right),\qquad V^{\prime}(r)=0\iff r^2=\frac13\iff r=\frac{\sqrt3}{3}.\] **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej: dla \(r\in\left(0,\frac{\sqrt3}{3}\right)\) jest \(V^{\prime}(r)>0\), a dla \(r\in\left(\frac{\sqrt3}{3},1\right)\) jest \(V^{\prime}(r)<0\). Funkcja \(V\) najpierw rośnie, a potem maleje, więc dla \(r=\frac{\sqrt3}{3}\) osiąga wartość największą. **Krok \(5\).** Obliczamy tę wartość. Ponieważ \(\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3=\frac{3\sqrt3}{27}=\frac{\sqrt3}{9}\), to \[V\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\sqrt3}{9}\right)=\pi\cdot\frac{3\sqrt3-\sqrt3}{9}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi.\] Odpowiadająca temu wysokość walca to \(h=\frac{1-\frac13}{\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}=2r\). **Odpowiedź.** Największą objętość ma walec o promieniu podstawy \(r=\frac{\sqrt3}{3}\), a ta największa objętość jest równa \(V=\frac{2\sqrt3}{9}\pi\).

Klasyfikacja rzeczowa: modelowanie objętości walca funkcją jednej zmiennej, wyznaczanie dziedziny i optymalizacja z użyciem pochodnej.

**D.** \(8\pi\)

Wysokość dzieli kąt rozwarcia \(120^{\circ}\) na dwa kąty po \(60^{\circ}\), więc w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(l=4\) \[r=4\sin60^{\circ}=2\sqrt3,\qquad H=4\cos60^{\circ}=2.\] Objętość: \[V=\frac13\pi r^{2}H=\frac13\pi\cdot12\cdot2=8\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=8\pi\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. (0−1) Wersja Wersja 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje I. Wykorzystanie I II w walcach i stożkach kąty między odcinkami i tworzenie informacji. i płaszczyznami (9.3). D B

**A.** \(2\pi r^{3}\)

Wysokość walca jest dwukrotnością promienia podstawy, więc \(H=2r\). Ze wzoru na objętość walca \[V=\pi r^{2}H=\pi r^{2}\cdot 2r=2\pi r^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=2\pi r^{3}\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(10\).

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach równych średnicy \(2r=8\) i wysokości \(6\). Jego przekątna ma długość \[d=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, przekrój osiowy walca i twierdzenie Pitagorasa.

**D.** \(48\pi\)

Z objętości walca \(\pi r^{2}H=96\pi\) dla \(r=4\) otrzymujemy \(16H=96\), czyli \(H=6\). Zatem \[P_b=2\pi rH=2\pi\cdot4\cdot6=48\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_b=48\pi\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

Pole powierzchni całkowitej: \(480\pi\). Objętość: \(600\pi\).

Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy, a przez \(H\) wysokość stożka. Z treści \(H=2r-22\), a ponieważ \(H\) jest długością odcinka, musi być \(2r-22>0\), czyli \(r>11\) — ten warunek rozstrzygnie później wybór pierwiastka. W przekroju osiowym tworząca, wysokość i promień tworzą trójkąt prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa \[(2r-22)^2+r^2=17^2,\] \[4r^2-88r+484+r^2=289,\qquad 5r^2-88r+195=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=7744-3900=3844=62^2\), zatem \[r=\frac{88-62}{10}=2{,}6\qquad\text{lub}\qquad r=\frac{88+62}{10}=15.\] Warunek \(r>11\) odrzuca pierwszą wartość, więc \(r=15\) i \(H=30-22=8\). Sprawdzenie: \(8^2+15^2=289=17^2\). Pole powierzchni całkowitej i objętość: \[P_c=\pi r(r+l)=\pi\cdot15\cdot(15+17)=480\pi,\] \[V=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13\pi\cdot225\cdot8=600\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_c=480\pi\), \(V=600\pi\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia podstawy stożka lub wysokości stożka, np. \((2r-22)^2+r^2=289\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: rozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: wyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości sprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka: \(r=15\) i \(h=8\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: poprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły.

Zadanie 33. (0–4) Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka. 3.4., G11.2. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe V. Rozumowanie z jedną niewiadomą, oblicza pole powierzchni i objętość i argumentacja graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Rozwiązanie: Narysujmy przekrój osiowy stożka i oznaczmy promień podstawy stożka przez r. 17 2r − 22 r Zauważamy, że 2r  22 musi być liczbą dodatnią, jako długość odcinka. Zatem r jest większe niż 11. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następującą zależność: 2r  222  r 2  289 2 2 4r  88r  484  r  289 5r 2  88r 195  0   7744  3900  3844   62 88  62 88  62 r   2, 6 r   15 1 2 10 10 r odrzucamy, bo jest liczbą mniejszą od 11. 1 Dalsze obliczenia prowadzimy dla przypadku r  15 . Obliczamy wysokość stożka: 215  22  8 . 1 Obliczamy objętość stożka: V  152 8  600 3 Obliczamy powierzchnię całkowitą stożka: P 1515 17  480 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania – 1 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego na wyliczenie długości promienia podstawy stożka lub wysokości stożka, np. 2r  222  r 2  289 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 2 pkt Rozwiązanie równania kwadratowego w zbiorze liczb rzeczywistych. Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 3 pkt Wyznaczenie jedynej możliwej długości promienia podstawy stożka i odrzucenie wartości sprzecznej z warunkami zadania oraz wyznaczenie wysokości stożka: r  15 i h  8 Rozwiązanie pełne – 4 pkt Poprawne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej bryły. 1 V  152 8  600 3 P 1515 17  480

**C.** tworząca stożka jest dwa razy dłuższa od wysokości walca

Podstawy są takie same, więc oba ciała mają ten sam promień \(r\). Pola powierzchni bocznych: \[P_b^{\text{stożek}}=\pi rl,\qquad P_b^{\text{walec}}=2\pi rh.\] Z ich równości \(\pi rl=2\pi rh\), a po podzieleniu przez \(\pi r>0\) otrzymujemy \(l=2h\). **Odpowiedź.** Tworząca stożka jest dwa razy dłuższa od wysokości walca, czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Modelowanie matematyczne. Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (III.9.b).

**D.** \(24\pi\)

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o bokach \(2r\) i \(H\). Z treści i rysunku wynika, że jest to kwadrat o boku \(4\), więc \[2r=4\ \Rightarrow\ r=2,\qquad H=4.\] Pole powierzchni całkowitej walca składa się z dwóch podstaw i powierzchni bocznej: \[P_c=2\pi r^{2}+2\pi rH=2\pi\cdot4+2\pi\cdot2\cdot4=8\pi+16\pi=24\pi.\] **Odpowiedź.** \(P_c=24\pi\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(5\) razy.

Z rysunku odczytujemy, że odcięty ostrosłup \(ABDE\) ma wierzchołek w narożu \(A\) sześcianu, a trzy jego krawędzie wychodzące z \(A\) — czyli \(AB\), \(AD\) i \(AE\) — są krawędziami sześcianu i są parami prostopadłe. Podstawą jest trójkąt prostokątny \(ABD\) o polu \(\frac12a^2\), a wysokością krawędź \(AE\) długości \(a\), więc \[V_{ABDE}=\frac13\cdot\frac12a^2\cdot a=\frac{a^3}{6}.\] Pozostała część sześcianu ma objętość \[a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6},\] czyli \(5\) razy większą od objętości ostrosłupa. **Odpowiedź.** D. \(5\) razy.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli — także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym.

**D.** \(3\)

Ze wzoru \(V=\pi r^{2}H\) dla \(H=8\) \[8\pi r^{2}=72\pi\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad r=3,\] bo promień jest dodatni. **Odpowiedź.** \(r=3\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**B.** \(h-r=\frac a2\)

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \(2r\) i \(h\). Skoro jest kwadratem o boku \(a\), to \[2r=a\ \Rightarrow\ r=\frac a2,\qquad h=a.\] Stąd \[h-r=a-\frac a2=\frac a2.\] **Odpowiedź.** \(h-r=\frac a2\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wyznacza związki miarowe w walcu (III.9.b).

**B.** \(54\pi\)

Przekrój osiowy walca to prostokąt o bokach \(2r\) i \(H\). Jest on kwadratem o boku \(6\), więc \[2r=6\ \Rightarrow\ r=3,\qquad H=6.\] Objętość walca: \[V=\pi r^{2}H=\pi\cdot9\cdot6=54\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=54\pi\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza objętość walca z przekroju osiowego.

**C.** \(V_2=2V_1\)

Wymiary obu walców odczytujemy z rysunku: pierwszy ma promień podstawy \(4\) i wysokość \(6\), drugi — promień \(8\) i wysokość \(3\). Ze wzoru \(V=\pi r^{2}H\) otrzymujemy \[V_1=\pi\cdot4^{2}\cdot6=96\pi,\qquad V_2=\pi\cdot8^{2}\cdot3=192\pi.\] Porównując, \(V_2=2V_1\). **Odpowiedź.** \(V_2=2V_1\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – porównuje objętości walców.

**B.** \(54\pi\)

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \(2r\) i \(H\); tu jest kwadratem o boku \(6\), więc \(r=3\) i \(H=6\). Zatem \[V=\pi r^{2}H=\pi\cdot9\cdot6=54\pi.\] **Odpowiedź.** \(V=54\pi\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

a) \(P_{b}=36\sqrt3\). b) Nie: \(V=\dfrac{54\sqrt3}{\pi}\), a ponieważ \(\pi\gt 3\), to \(\dfrac{54}{\pi}\lt 18\), czyli \(V\lt 18\sqrt3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy kluczową własność walca: jego powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem, którego jeden bok to WYSOKOŚĆ walca \(H\), a drugi to OBWÓD podstawy, czyli \(2\pi r\). Dane w zadaniu (przekątna \(12\) i kąt \(30^\circ\) przy boku równym wysokości) opisują trójkąt prostokątny wewnątrz tego prostokąta, więc długości boków odczytamy z funkcji trygonometrycznych. **Krok \(2\).** Przekątna z bokami tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(12\). Kąt \(30^\circ\) leży przy boku o długości \(H\), więc \(H\) jest przyprostokątną PRZYLEGŁĄ do tego kąta: \[H=12\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.\] **Krok \(3\).** Drugi bok prostokąta, czyli obwód podstawy, leży NAPRZECIW kąta \(30^\circ\): \[2\pi r=12\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6.\] **Krok \(4\).** Podpunkt a): pole powierzchni bocznej to po prostu pole tego prostokąta: \[P_b=H\cdot2\pi r=6\sqrt3\cdot6=36\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Podpunkt b): najpierw wyznaczamy promień z równania \(2\pi r=6\): \[r=\frac{6}{2\pi}=\frac{3}{\pi}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy objętość walca ze wzoru \(V=\pi r^2H\): \[V=\pi\cdot\left(\frac{3}{\pi}\right)^2\cdot6\sqrt3=\pi\cdot\frac{9}{\pi^2}\cdot6\sqrt3=\frac{54\sqrt3}{\pi}.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, czy \(V\gt18\sqrt3\). Zapisujemy przypuszczaną nierówność i upraszczamy ją (dzielimy obie strony przez \(\sqrt3\gt0\)): \[\frac{54\sqrt3}{\pi}\gt18\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{54}{\pi}\gt18\quad\Longleftrightarrow\quad 54\gt18\pi\quad\Longleftrightarrow\quad 3\gt\pi.\] **Krok \(8\).** Ale \(\pi\approx3{,}14\), czyli \(\pi\gt3\). Ostatnia nierówność jest FAŁSZYWA, a skoro wszystkie przejścia były równoważne, fałszywa jest też nierówność wyjściowa. Zatem \(V\lt18\sqrt3\) — objętość NIE jest większa od \(18\sqrt3\). (Dla kontroli: \(V=\frac{54\sqrt3}{\pi}\approx29{,}8\), a \(18\sqrt3\approx31{,}2\).) **Uwaga.** Najgroźniejsza pułapka to pomylenie boków. Kąt \(30^\circ\) jest opisany jako kąt między przekątną a bokiem RÓWNYM WYSOKOŚCI walca, więc do wysokości używamy cosinusa, a do obwodu podstawy sinusa. Zamiana tych dwóch funkcji miejscami daje zupełnie inny (błędny) wynik. Druga rzecz: w podpunkcie b) trzeba UZASADNIĆ odpowiedź — samo podanie przybliżenia liczbowego jest słabsze niż sprowadzenie porównania do nierówności \(\pi\gt3\). **Odpowiedź.** a) \(P_{b}=36\sqrt3\). b) Nie: \(V=\dfrac{54\sqrt3}{\pi}\), a ponieważ \(\pi\gt 3\), to \(\dfrac{54}{\pi}\lt 18\), czyli \(V\lt 18\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(V=980\pi\) (dla \(r=7\) i \(h=20\)).

**Krok \(1\).** W walcu mamy dwie niewiadome: promień podstawy \(r\) i wysokość \(h\). W treści są dwie informacje (zależność między wysokością a średnicą oraz pole powierzchni całkowitej), więc ułożymy układ dwóch równań i sprowadzimy go do jednego równania kwadratowego. **Krok \(2\).** Średnica podstawy wynosi \(2r\), a wysokość jest od niej o \(6\) większa: \[h=2r+6.\] **Krok \(3\).** Pole powierzchni całkowitej walca to dwa koła podstaw i prostokąt powierzchni bocznej: \[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=378\pi.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(2\pi\) — to od razu usuwa \(\pi\) z rachunków: \[r^2+rh=189.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(h=2r+6\): \[r^2+r(2r+6)=189,\qquad r^2+2r^2+6r-189=0,\qquad 3r^2+6r-189=0.\] **Krok \(6\).** Dzielimy przez \(3\): \[r^2+2r-63=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy \(\Delta=4+252=256\), \(\sqrt{\Delta}=16\), więc \[r_1=\frac{-2-16}{2}=-9,\qquad r_2=\frac{-2+16}{2}=7.\] **Krok \(8\).** Promień musi być dodatni, więc \(r=7\), a stąd \(h=2\cdot7+6=20\). Sprawdzenie pola: \(2\pi\cdot49+2\pi\cdot7\cdot20=98\pi+280\pi=378\pi\) — zgadza się. **Krok \(9\).** Obliczamy objętość: \[V=\pi r^2h=\pi\cdot49\cdot20=980\pi.\] **Uwaga.** Ujemny pierwiastek \(r=-9\) jest poprawnym rozwiązaniem równania, ale nie długością promienia, więc trzeba go wyraźnie odrzucić. Uwaga też na słowo średnica: wysokość jest większa o \(6\) od \(2r\), a nie od \(r\). **Odpowiedź.** \(V=980\pi\) (dla \(r=7\) i \(h=20\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie zależności: \(h=2r+6\). **8.2. (1 pkt)** – zapisanie zależności: \(2\pi r^{2}+2\pi rh=378\pi\). **8.3. (1 pkt)** – doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą \(r\) lub \(h\). **8.4. (2 pkt)** – przekształcenie równania do postaci uporządkowanej, rozwiązanie go, wyznaczenie długości promienia i długości wysokości walca: np. \(r^{2}+2r-63=0\) (lub \(h^{2}-8h-240=0\)), \(r=7\wedge h=20\). **8.5. (1 pkt)** – obliczenie objętości walca: \(V=980\pi\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Do wypieku całego tortu należało przygotować \(1{,}35\ \mathrm{kg}\) mąki.

Promienie warstw tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(-5\), a promień warstwy środkowej (trzeciej) wynosi \(20\ \mathrm{cm}\). Zatem kolejne promienie to \[30,\quad 25,\quad 20,\quad 15,\quad 10\ \mathrm{cm}.\] Wszystkie warstwy mają tę samą wysokość \(h\) i to samo ciasto, więc zużycie mąki jest proporcjonalne do objętości, czyli — przy stałej wysokości — do kwadratu promienia. Sumujemy kwadraty promieni: \[30^{2}+25^{2}+20^{2}+15^{2}+10^{2}=900+625+400+225+100=2250.\] Warstwa środkowa odpowiada wartości \(20^{2}=400\) i wymaga \(0{,}24\ \mathrm{kg}\) mąki, więc na cały tort potrzeba \[0{,}24\cdot\frac{2250}{400}=0{,}24\cdot5{,}625=1{,}35\ \mathrm{kg}.\] (Dla porządku: z warunku \(\pi\cdot20^{2}\cdot h=3200\pi\) wynika \(h=8\ \mathrm{cm}\), ale wysokość skraca się w proporcji.) **Odpowiedź.** Należało przygotować \(1{,}35\ \mathrm{kg}\) mąki.

**1. (1 pkt)** – Obliczenie długości promieni kolejnych walców: \(r_{1}=30\) cm, \(r_{2}=25\) cm, […], \(r_{4}=15\) cm, \(r_{5}=10\) cm **2. (2 pkt)** – Obliczenie sumy objętości wszystkich walców (1 pkt. w przypadku błędów rachunkowych przy wyznaczaniu objętości poszczególnych walców): \(V=18000\,\pi\,\mathrm{cm}^{3}\) **3. (2 pkt)** – Obliczenie masy mąki: \(m=1{,}35\) kg. (1 punkt przyznajemy za metodę i 1 punkt za obliczenia)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(h=298\ \mathrm{cm}\) (łączna objętość przetopionego metalu \(V=\dfrac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm}^{3}\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na przetapianie brył. Kluczowa idea: przy przetopieniu ilość metalu się nie zmienia, więc objętość walca jest równa sumie objętości kuli i stożka. Wystarczy policzyć trzy objętości i rozwiązać równanie z niewiadomą wysokością. **Krok \(2\).** Objętość kuli o promieniu \(10\ \mathrm{cm}\) liczymy ze wzoru \(V=\frac43\pi R^3\): \[V_k=\frac43\pi\cdot10^3=\frac{4000}{3}\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(3\).** Stożek ma średnicę \(16\ \mathrm{cm}\), więc jego promień to \(8\ \mathrm{cm}\), a wysokość \(12\ \mathrm{cm}\). Ze wzoru \(V=\frac13\pi r^2h\): \[V_s=\frac13\pi\cdot8^2\cdot12=\frac13\pi\cdot64\cdot12=256\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(4\).** Sumujemy, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[V=\frac{4000}{3}\pi+256\pi=\frac{4000}{3}\pi+\frac{768}{3}\pi=\frac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(5\).** Walec ma średnicę \(\frac{8\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}\), więc jego promień to \[r_w=\frac12\cdot\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm},\qquad r_w^2=\frac{16\cdot3}{9}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\ \mathrm{cm^2}.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy równanie na objętość walca \(V=\pi r_w^2h_w\): \[\pi\cdot\frac{16}{3}\cdot h_w=\frac{4768}{3}\pi.\] **Krok \(7\).** Dzielimy obie strony przez \(\pi\) i mnożymy przez \(3\): \[16h_w=4768,\qquad h_w=\frac{4768}{16}=298\ \mathrm{cm}.\] **Uwaga.** Aż dwa razy w tym zadaniu podano średnicę, a wzory wymagają promienia — i w stożku, i w walcu trzeba pamiętać o podzieleniu przez \(2\). Warto też podnieść \(\frac{4\sqrt3}{3}\) do kwadratu ostrożnie: \(\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{4^2\cdot(\sqrt3)^2}{3^2}=\frac{16\cdot3}{9}=\frac{16}{3}\), a nie \(\frac{4\cdot3}{3}\). Liczby dobrano tak, aby \(\pi\) skróciło się w równaniu, więc nie ma potrzeby liczenia przybliżeń. **Odpowiedź.** \(h=298\ \mathrm{cm}\) (łączna objętość przetopionego metalu \(V=\dfrac{4768}{3}\pi\ \mathrm{cm}^{3}\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – […] niami lub opis oznaczeń: \(2r_{W}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\) cm – średnica walca. **8.2. (1 pkt)** – zastosowanie wzorów na objętość kuli, stożka do obliczenia objętości walca: \(V_{W}=\frac{4768}{3}\pi\). **8.3. (1 pkt)** – ułożenie równania na objętość walca z niewiadomą \(h_{W}\) (\(h_{W}\) – wysokość walca): \(\frac{16}{3}\pi h_{W}=\frac{4768}{3}\pi\). **8.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(h_{W}=298\) cm.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najbliższa jest objętość drugiej szklanki: \(V_{1}=\pi\cdot3^{2}\cdot10=90\pi\approx282{,}7\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{2}=\pi\cdot2{,}9^{2}\cdot9{,}5\approx250{,}9\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{3}=\pi\cdot3^{2}\cdot9=81\pi\approx254{,}5\ \mathrm{cm^{3}}\), a \(0{,}25\ \mathrm{l}=250\ \mathrm{cm^{3}}\), więc najmniejsza różnica (około \(0{,}9\ \mathrm{cm^{3}}\)) dotyczy drugiej szklanki.

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na objętość walca połączone z porównywaniem wyników. Szklanka w kształcie walca ma objętość \(V=\pi r^2h\). Musimy policzyć trzy objętości, zamienić \(0{,}25\) litra na centymetry sześcienne i sprawdzić, która objętość różni się od tej wartości najmniej. **Krok \(2\).** Zamieniamy jednostki: \(1\ \mathrm{l}=1000\ \mathrm{cm^3}\), więc \[0{,}25\ \mathrm{l}=0{,}25\cdot1000\ \mathrm{cm^3}=250\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(3\).** W treści podano średnice, a we wzorze występuje promień, więc dzielimy je przez \(2\): \[r_1=3\ \mathrm{cm},\qquad r_2=2{,}9\ \mathrm{cm},\qquad r_3=3\ \mathrm{cm}.\] **Krok \(4\).** Pierwsza szklanka: \[V_1=\pi\cdot3^2\cdot10=90\pi\approx282{,}7\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(5\).** Druga szklanka: \[V_2=\pi\cdot(2{,}9)^2\cdot9{,}5=\pi\cdot8{,}41\cdot9{,}5=79{,}895\pi\approx250{,}99\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(6\).** Trzecia szklanka: \[V_3=\pi\cdot3^2\cdot9=81\pi\approx254{,}5\ \mathrm{cm^3}.\] **Krok \(7\).** Porównujemy odległości od \(250\ \mathrm{cm^3}\): \[|V_1-250|\approx32{,}7,\qquad |V_2-250|\approx1,\qquad |V_3-250|\approx4{,}5.\] Najmniejsza różnica przypada drugiej szklance. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to podstawienie średnicy w miejsce promienia — objętość wyszłaby wtedy czterokrotnie za duża. Druga pułapka: pytanie brzmi, która objętość jest najbliższa \(250\ \mathrm{cm^3}\), a nie która jest największa albo najmniejsza. Trzeba więc porównywać wartości bezwzględne różnic, a nie same objętości; zauważ, że \(V_2\) jest nieco większa od \(250\), a mimo to jest najbliższa. **Odpowiedź.** Najbliższa \(0{,}25\) litra jest objętość drugiej szklanki: \(V_{1}=90\pi\approx282{,}7\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{2}=79{,}895\pi\approx250{,}99\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{3}=81\pi\approx254{,}5\ \mathrm{cm^{3}}\), a \(0{,}25\ \mathrm{l}=250\ \mathrm{cm^{3}}\), więc najmniejsza różnica (około \(1\ \mathrm{cm^{3}}\)) dotyczy drugiej szklanki.

**20. (1 pkt)** – obliczenie objętości drugiej szklanki: \(V_{2}=\pi\cdot(2{,}9)^{2}\cdot 9{,}5\approx 250{,}9\) cm\(^{3}\). **21. (1 pkt)** – obliczenie objętości trzeciej szklanki: \(V_{3}=\pi\cdot 3^{2}\cdot 9\approx 254{,}3\) cm\(^{3}\). **22. (1 pkt)** – zamiana jednostek objętości: np. \(0{,}25\) l \(=250\) cm\(^{3}\). **23. (1 pkt)** – wskazanie szklanki, której objętość jest najbliższa \(0{,}25\) l.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(P(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{500\pi}{r}\), dziedzina: \(r\in(0,+\infty)\). Pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla \(r=5\ \mathrm{cm}\) i wynosi wtedy \(150\pi\ \mathrm{cm}^{2}\).

**Krok \(1\).** Objętość walca o promieniu podstawy \(r\) i wysokości \(h\) wyraża się wzorem \(V=\pi r^{2}h\). Z warunku \(\pi r^{2}h=250\pi\) otrzymuję \(h=\dfrac{250}{r^{2}}\). **Krok \(2\).** Pole powierzchni całkowitej walca: \[P=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{250}{r^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{500\pi}{r}=\frac{2\pi r^{3}+500\pi}{r}.\] **Krok \(3\).** Promień podstawy jest liczbą dodatnią i dla każdego \(r\gt0\) istnieje odpowiadająca mu wysokość \(h=\dfrac{250}{r^{2}}\gt0\), zatem dziedziną funkcji \(P\) jest zbiór \(r\in(0,+\infty)\). **Krok \(4\).** Wyznaczam pochodną: \[P'(r)=4\pi r-\frac{500\pi}{r^{2}}=\frac{4\pi r^{3}-500\pi}{r^{2}}.\] **Krok \(5\).** Rozwiązuję równanie \(P'(r)=0\): \(4\pi r^{3}-500\pi=0\), czyli \(r^{3}=125\), a stąd \(r=5\). **Krok \(6\).** Badam znak pochodnej: dla \(r\in(0,5)\) mamy \(P'(r)\lt0\) (funkcja maleje), a dla \(r\in(5,+\infty)\) mamy \(P'(r)\gt0\) (funkcja rośnie). Zatem dla \(r=5\) funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą, równą \(P(5)=2\pi\cdot5^{2}+\dfrac{500\pi}{5}=50\pi+100\pi=150\pi\). **Odpowiedź.** \(P(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{500\pi}{r}\) dla \(r\in(0,+\infty)\); pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze dla promienia \(r=5\ \mathrm{cm}\) i wynosi wtedy \(150\pi\ \mathrm{cm}^{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] w zależności od długości \(r\) promienia podstawy: \(h=\frac{250}{r^{2}}\) **15.2. (1 pkt)** – wyznaczenie pola powierzchni całkowitej walca jako funkcji zmiennej \(r\): \(P(r)=\frac{2\pi r^{3}+500\pi}{r}\) **15.3. (1 pkt)** – określenie dziedziny funkcji \(P(r)\): \(r\in(0,+\infty)\) **15.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(P^{\prime}(r)\): \(P^{\prime}(r)=\frac{4\pi r^{3}-500\pi}{r^{2}}\) **15.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(P^{\prime}(r)=0\): \(r=5\) **15.6. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(r=5\) funkcja przyjmuje wartość najmniejszą

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.