Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Długość okręgu i pole koła na egzaminie ósmoklasisty
Wzorów są dwa, a pytań, które można z nich ułożyć — cztery, bo każde działa też w drugą stronę. Podstawa wymienia wszystkie cztery osobno i egzamin z tego korzysta: raz da promień i zapyta o pole, raz da pole i zapyta o promień. Kto zna tylko kierunek „w przód”, w połowie zadań utknie. Dobra wiadomość: droga powrotna to jedno dzielenie albo jeden pierwiastek.
To jest w podstawie programowej
Podstawa dla szkoły podstawowej, klasy VII i VIII, dział XIV. Długość okręgu i pole koła, wszystkie cztery punkty:
1) „oblicza długość okręgu o danym promieniu lub danej średnicy”;
2) „oblicza promień lub średnicę okręgu o danej długości okręgu”;
3) „oblicza pole koła o danym promieniu lub danej średnicy”;
4) „oblicza promień lub średnicę koła o danym polu”.
Zwróć uwagę, że punkty 2 i 4 to te same wzory czytane wspak. Podstawa wymienia je osobno, bo w zadaniach pojawiają się równie często jak kierunek podstawowy. Pierścienia kołowego w tym dziale podstawy nie ma — pole pierścienia liczy się jako różnicę pól dwóch kół i wraca w zadaniach, więc omawiam je niżej oraz przy okręgu i kole.
Zanim wzory — jedno rozróżnienie, bez którego reszta się myli. Okrąg to linia, koło to powierzchnia. Okrąg ma długość (mierzoną w cm), koło ma pole (w cm²). Rozwijam to przy okręgu i kole.
Dwa wzory do zapamiętania
Długość okręgu: , a że średnica , to również .
Pole koła: .
Najprostszy sposób, żeby ich nie pomylić: pole zawsze ma w kwadracie, bo wychodzi w centymetrach kwadratowych. Jeśli w rachunku na pole nie ma kwadratu, wzór jest przekręcony.
| co jest dane | czego szukam | co robię |
|---|---|---|
| promień | długość okręgu | — jedno mnożenie |
| długość okręgu | promień | — jedno dzielenie |
| promień | pole koła | — kwadrat i mnożenie |
| pole koła | promień | — dzielenie i pierwiastek |
Ostatni wiersz wygląda najgroźniej, ale w zadaniach egzaminacyjnych prawie zawsze się upraszcza, bo pole jest podane w postaci „liczba razy ”. Wtedy skraca się natychmiast i zostaje pierwiastek z liczby całkowitej.
Przykład tego skrócenia: jeśli , to , więc . Żadnego przybliżania po drodze.
To pytanie wraca na egzaminie co roku i odpowiedź jest prostsza, niż się wydaje: domyślnie zostawiamy .
Powód jest ten sam, co przy pierwiastkach: jest liczbą niewymierną, więc to zaokrąglenie, a nie uproszczenie. Wpisanie go za wcześnie psuje wszystkie skrócenia, które mogłyby wyjść później.
Skrócenie, które ginie przy zbyt wczesnym przybliżaniu
Zadanie: koło ma pole cm². Ile wynosi długość jego okręgu?
Z : , więc , a stąd cm. Rachunek zajął dwie linijki i jest dokładny.
Z przybliżeniem od razu: , potem , , . Wynik jest przybliżony, dłuższy w zapisie i trudniejszy do porównania z kluczem odpowiedzi.
Obie drogi prowadzą do tej samej liczby, ale tylko pierwsza daje odpowiedź, którą łatwo sprawdzić.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Próbny egzamin ósmoklasisty 2027, matematyka” (klasa 8), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Czyste zadanie „dany promień, oblicz pole” pojawia się rzadko. Znacznie częściej koło jest częścią większej figury i wtedy trzeba zdecydować, co do wyniku wchodzi, a co nie.
Przy polu jest łatwiej — pola się dodaje albo odejmuje, w zależności od tego, czy kawałek jest doklejony, czy wycięty.
Przy obwodzie jest pułapka. Obwód to brzeg figury, więc odcinek, który przestał być brzegiem, do obwodu nie wchodzi — nawet jeśli nadal widać go na rysunku jako linię podziału.
Półkole doklejone do prostokąta
Prostokąt o bokach i , a na dłuższym boku doklejone półkole o średnicy , czyli promieniu .
Pole: prostokąt , półkole . Razem .
Obwód: dolny bok , dwa boki po oraz półokrąg . Razem .
Górny bok prostokąta do obwodu NIE wchodzi, bo przestał być brzegiem — zastąpił go łuk. To jest ten jeden krok, na którym traci się punkt.
Druga częsta figura to pierścień kołowy, czyli koło z wyciętym mniejszym kołem w środku. Jego pole to różnica pól, a nie pole „koła o promieniu równym różnicy”.
Wyłączenie przed nawias skraca rachunek i od razu podpowiada wzór skróconego mnożenia: . Dla i daje to — bez podnoszenia czegokolwiek do kwadratu.
Cztery zadania, po jednym na każdy punkt działu: w przód, wspak, pole wspak i figura złożona.
Przykład 1 Z promienia: obwód i pole naraz
Koło ma promień cm. Oblicz długość okręgu ograniczającego to koło oraz pole koła.
Odpowiedź: cm, cm².
Obie odpowiedzi zostają z symbolem i to jest postać docelowa. Warto zapamiętać przybliżenie nie po to, żeby go używać, tylko żeby w kilka sekund sprawdzić, czy wynik ma sensowny rząd wielkości.
Przykład 2 Wspak: z długości okręgu do pola
Długość okręgu wynosi cm. Oblicz promień oraz pole koła ograniczonego tym okręgiem.
Odpowiedź: cm, cm².
Sprawdzenie polegające na powrocie do danej z treści jest tu najlepszą kontrolą, jaką można zrobić: liczy się inną drogą niż samo rozwiązanie, więc nie powiela ewentualnego błędu.
Przykład 3 Wspak z pola: pierwiastek, który się upraszcza
Pole koła wynosi cm². Oblicz promień, średnicę i długość okręgu.
Odpowiedź: cm, cm, cm.
Pierwiastek w tym zadaniu w ogóle się nie pojawił jako trudność, bo skróciło się przed nim, a jest kwadratem liczby całkowitej. Tak konstruuje się większość zadań egzaminacyjnych — jeśli pod pierwiastkiem wychodzi coś brzydkiego, warto sprawdzić rachunek.
Przykład 4 Figura złożona: prostokąt z półkolem
Do prostokąta o bokach cm i cm doklejono półkole o średnicy równej dłuższemu bokowi. Oblicz pole i obwód powstałej figury.
Odpowiedź: cm², obwód cm.
Wyników nie da się zapisać prościej — to sumy liczby wymiernej i niewymiernej, więc zostają w tej postaci. Metoda „obejdź figurę palcem” jest tu warta więcej niż jakikolwiek wzór: sama pokazuje, że górny bok wypada z obwodu.
Cztery błędy. Pierwszy i ostatni odpowiadają za większość punktów traconych w tym dziale.
Doliczenie do obwodu odcinka, który przestał być brzegiem
Skąd się bierze: W figurze złożonej z prostokąta i półkola linia styku nadal widnieje na rysunku, więc odruchowo trafia do sumy. Tymczasem obwód to brzeg zewnętrzny figury, a tam brzegiem jest łuk. Dla przykładu z tej strony daje to zamiast — wynik o za duży.
Jak zrobić dobrze: Obejdź figurę palcem po rysunku i licz tylko to, po czym palec przejechał. Linia podziału zostaje wewnątrz, więc palec jej nie dotyka. Ta metoda działa też przy figurach z wyciętymi kawałkami, gdzie brzegów bywa więcej niż jeden.
Pomylenie wzoru na pole ze wzorem na obwód
Skąd się bierze: Oba zawierają i , więc łatwo napisać tam, gdzie potrzebne jest . Wynik wychodzi wtedy w złych jednostkach — pole w centymetrach zamiast w centymetrach kwadratowych — ale sama liczba wygląda wiarygodnie.
Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj jednostkę wyniku, nie wzór. Pole musi wyjść w cm², więc w rachunku musi wystąpić w kwadracie. Druga kontrola: dla pole wynosi , a obwód — jeśli wyszło odwrotnie, wzory są zamienione.
Podniesienie do kwadratu całego iloczynu zamiast samego promienia
Skąd się bierze: Zapis bywa czytany jako , czyli . Kwadrat dotyczy jednak tylko , bo taka jest kolejność działań. Dla poprawnie wychodzi , a błędnie — wynik ponad trzy razy za duży.
Jak zrobić dobrze: Licz najpierw kwadrat promienia, a dopiero potem mnóż przez . Zapisanie tego jako dwóch osobnych kroków (, potem ) całkowicie eliminuje ten błąd.
Przybliżanie π na starcie zadania
Skąd się bierze: Wpisanie w pierwszym kroku psuje wszystkie skrócenia, które mogłyby wyjść dalej. W zadaniu, gdzie pole wynosi , dzielenie przez daje od razu ; po przybliżeniu trzeba dzielić przez i wynik obarczony jest błędem zaokrąglenia.
Jak zrobić dobrze: Prowadź cały rachunek z symbolem i zostaw wynik w postaci , , . Przybliżaj wyłącznie wtedy, gdy polecenie tego żąda — a wtedy dopiero na samym końcu.
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Do ćwiczeń na papierze: zestaw kart z tego tematu i arkusze egzaminacyjne z rozwiązaniami.
Płatny zestaw · sklep
11 kart pracy z matematyki dla klas 7–8: promień i średnica, długość okręgu, pole koła, π ≈ 3,14, półkole, pierścień, zadania z życia. Na…
7,90 zł
Zobacz w sklepie →
Płatny zestaw · sklep
Pięć autorskich arkuszy z odpowiedziami, rozwiązaniami i punktowaniem. Każdy: 125 minut i 30 punktów. Dwa układy (116 i 46 stron), pięć…
24,90 zł
Zobacz w sklepie →
Trzeba pomnożyć promień przez dwa i przez liczbę pi, czyli skorzystać ze wzoru na obwód. Jeśli w zadaniu podano średnicę zamiast promienia, można od razu pomnożyć ją przez pi, bo średnica jest dwa razy dłuższa od promienia. Wynik zwykle zostawia się z symbolem pi.
Wystarczy podzielić długość okręgu przez dwa pi. W zadaniach egzaminacyjnych długość podana jest zwykle w postaci liczby pomnożonej przez pi, więc symbol pi skraca się i promień wychodzi liczbą całkowitą. To dobry sygnał, że rachunek idzie poprawnie.
Najpierw dzieli się pole przez pi, otrzymując kwadrat promienia, a potem wyciąga się z tej liczby pierwiastek kwadratowy. Bierzemy wartość dodatnią, ponieważ promień nie może być liczbą ujemną. Przy typowych danych egzaminacyjnych pod pierwiastkiem pojawia się kwadrat liczby całkowitej.
Nie, jeżeli polecenie tego nie wymaga. Zapis z symbolem pi, na przykład dwanaście pi centymetrów, jest odpowiedzią pełną i dokładną, a zaokrąglenie oznacza utratę dokładności. Przybliżenie podaje się tylko wtedy, gdy zadanie wyraźnie o nie prosi.
Nie, ponieważ przestał być brzegiem figury i zastąpił go łuk półokręgu. Do obwodu liczy się wyłącznie to, po czym da się obejść figurę z zewnątrz. Najprościej sprawdzić to, przesuwając palec po rysunku wzdłuż krawędzi.
Trzeba odjąć pole mniejszego koła od pola większego, czyli policzyć różnicę dwóch pól. Nie wolno obliczać pola koła o promieniu równym różnicy promieni, bo to zupełnie inna liczba. Wyłączenie pi przed nawias upraszcza rachunek i pozwala skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
Odbieram książeczkę w grupie