Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Długość okręgu i pole koła na egzaminie ósmoklasisty

Długość okręgu i pole koła na egzaminie ósmoklasisty

Wzorów są dwa, a pytań, które można z nich ułożyć — cztery, bo każde działa też w drugą stronę. Podstawa wymienia wszystkie cztery osobno i egzamin z tego korzysta: raz da promień i zapyta o pole, raz da pole i zapyta o promień. Kto zna tylko kierunek „w przód”, w połowie zadań utknie. Dobra wiadomość: droga powrotna to jedno dzielenie albo jeden pierwiastek.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8

Dwa wzory, cztery pytania

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla szkoły podstawowej, klasy VII i VIII, dział XIV. Długość okręgu i pole koła, wszystkie cztery punkty:

1) „oblicza długość okręgu o danym promieniu lub danej średnicy”;

2) „oblicza promień lub średnicę okręgu o danej długości okręgu”;

3) „oblicza pole koła o danym promieniu lub danej średnicy”;

4) „oblicza promień lub średnicę koła o danym polu”.

Zwróć uwagę, że punkty 2 i 4 to te same wzory czytane wspak. Podstawa wymienia je osobno, bo w zadaniach pojawiają się równie często jak kierunek podstawowy. Pierścienia kołowego w tym dziale podstawy nie ma — pole pierścienia liczy się jako różnicę pól dwóch kół i wraca w zadaniach, więc omawiam je niżej oraz przy okręgu i kole.

Zanim wzory — jedno rozróżnienie, bez którego reszta się myli. Okrąg to linia, koło to powierzchnia. Okrąg ma długość (mierzoną w cm), koło ma pole (w cm²). Rozwijam to przy okręgu i kole.

Dwa wzory do zapamiętania

Długość okręgu: $L = 2\pi r$ , a że średnica $d = 2r$ , to również $L = \pi d$ .

Pole koła: $P = \pi r^2$ .

Najprostszy sposób, żeby ich nie pomylić: pole zawsze ma $r$ w kwadracie, bo wychodzi w centymetrach kwadratowych. Jeśli w rachunku na pole nie ma kwadratu, wzór jest przekręcony.

co jest dane	czego szukam	co robię
promień $r$	długość okręgu	$L = 2\pi r$ — jedno mnożenie
długość okręgu $L$	promień	$r = \dfrac{L}{2\pi}$ — jedno dzielenie
promień $r$	pole koła	$P = \pi r^2$ — kwadrat i mnożenie
pole koła $P$	promień	$r = \sqrt{\dfrac{P}{\pi}}$ — dzielenie i pierwiastek

Ostatni wiersz wygląda najgroźniej, ale w zadaniach egzaminacyjnych prawie zawsze się upraszcza, bo pole jest podane w postaci „liczba razy $\pi$ ”. Wtedy $\pi$ skraca się natychmiast i zostaje pierwiastek z liczby całkowitej.

Przykład tego skrócenia: jeśli $P = \textcolor{#16A06A}{49}\pi$ , to $r^2 = \frac{\textcolor{#16A06A}{49}\pi}{\pi} = \textcolor{#E0453A}{49}$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{7}$ . Żadnego przybliżania po drodze.

Kiedy zostawić π, a kiedy je przybliżać

To pytanie wraca na egzaminie co roku i odpowiedź jest prostsza, niż się wydaje: domyślnie zostawiamy $\pi$ .

Zostaw $\pi$ , gdy polecenie nie mówi inaczej. Zapis $12\pi$ cm jest pełną odpowiedzią, a nie odpowiedzią „niedokończoną”.
Zostaw $\pi$ także wtedy, gdy w zadaniu trzeba jeszcze coś dalej policzyć — bo w kolejnym kroku często się skróci.
Przybliż, gdy polecenie tego żąda wprost („przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ ”) albo gdy pytanie jest praktyczne i oczekuje liczby w centymetrach.

Powód jest ten sam, co przy pierwiastkach: $\pi$ jest liczbą niewymierną, więc 3,14 to zaokrąglenie, a nie uproszczenie. Wpisanie go za wcześnie psuje wszystkie skrócenia, które mogłyby wyjść później.

Skrócenie, które ginie przy zbyt wczesnym przybliżaniu

Zadanie: koło ma pole $\textcolor{#16A06A}{36}\pi$ cm². Ile wynosi długość jego okręgu?

Z $\pi$ : $r^2 = \textcolor{#16A06A}{36}$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{6}$ , a stąd $L = 2\pi \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#2F80D8}{12\pi}$ cm. Rachunek zajął dwie linijki i jest dokładny.

Z przybliżeniem od razu: $P \approx 113{,}1$ , potem $r^2 \approx 36{,}0$ , $r \approx 6{,}0$ , $L \approx 37{,}7$ . Wynik jest przybliżony, dłuższy w zapisie i trudniejszy do porównania z kluczem odpowiedzi.

Obie drogi prowadzą do tej samej liczby, ale tylko pierwsza daje odpowiedź, którą łatwo sprawdzić.

Figury złożone — tu ginie najwięcej punktów

Czyste zadanie „dany promień, oblicz pole” pojawia się rzadko. Znacznie częściej koło jest częścią większej figury i wtedy trzeba zdecydować, co do wyniku wchodzi, a co nie.

Przy polu jest łatwiej — pola się dodaje albo odejmuje, w zależności od tego, czy kawałek jest doklejony, czy wycięty.

Przy obwodzie jest pułapka. Obwód to brzeg figury, więc odcinek, który przestał być brzegiem, do obwodu nie wchodzi — nawet jeśli nadal widać go na rysunku jako linię podziału.

Półkole doklejone do prostokąta

Prostokąt o bokach $\textcolor{#16A06A}{10}$ i $\textcolor{#16A06A}{4}$ , a na dłuższym boku doklejone półkole o średnicy $\textcolor{#16A06A}{10}$ , czyli promieniu $\textcolor{#E0453A}{5}$ .

Pole: prostokąt $\textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 40$ , półkole $\frac{1}{2}\pi \cdot \textcolor{#E0453A}{5}^2 = 12{,}5\pi$ . Razem $\textcolor{#2F80D8}{40 + 12{,}5\pi}$ .

Obwód: dolny bok $\textcolor{#16A06A}{10}$ , dwa boki po $\textcolor{#16A06A}{4}$ oraz półokrąg $\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 5\pi$ . Razem $\textcolor{#8B5CF6}{18 + 5\pi}$ .

Górny bok prostokąta do obwodu NIE wchodzi, bo przestał być brzegiem — zastąpił go łuk. To jest ten jeden krok, na którym traci się punkt.

Druga częsta figura to pierścień kołowy, czyli koło z wyciętym mniejszym kołem w środku. Jego pole to różnica pól, a nie pole „koła o promieniu równym różnicy”.

P_{\text{pierścienia}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right)

Wyłączenie $\pi$ przed nawias skraca rachunek i od razu podpowiada wzór skróconego mnożenia: $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$ . Dla $R = \textcolor{#16A06A}{8}$ i $r = \textcolor{#16A06A}{6}$ daje to $\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{14} = \textcolor{#E0453A}{28\pi}$ — bez podnoszenia czegokolwiek do kwadratu.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania, po jednym na każdy punkt działu: w przód, wspak, pole wspak i figura złożona.

Przykład 1 Z promienia: obwód i pole naraz

Koło ma promień $\textcolor{#16A06A}{5}$ cm. Oblicz długość okręgu ograniczającego to koło oraz pole koła.

Długość okręgu. Wzór $L = 2\pi r$ , więc $L = 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{10\pi}$ cm.
Pole koła. Wzór $P = \pi r^2$ , więc $P = \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{5}^2 = \textcolor{#2F80D8}{25\pi}$ cm².
Uwaga na kolejność: najpierw $\textcolor{#16A06A}{5}^2 = 25$ , dopiero potem mnożenie przez $\pi$ . Zapis $(\pi \cdot 5)^2$ dałby zupełnie co innego.
Kontrola jednostek: długość wyszła w cm, pole w cm² ✓ — a to znaczy, że w polu rzeczywiście wystąpił kwadrat.
Kontrola rzędu wielkości: $\textcolor{#E0453A}{10\pi} \approx 31$ cm, czyli okrąg jest około sześć razy dłuższy od promienia — i tak być musi, bo $2\pi \approx 6{,}28$ ✓

Odpowiedź: $L = 10\pi$ cm, $P = 25\pi$ cm².

Obie odpowiedzi zostają z symbolem $\pi$ i to jest postać docelowa. Warto zapamiętać przybliżenie $2\pi \approx 6{,}28$ nie po to, żeby go używać, tylko żeby w kilka sekund sprawdzić, czy wynik ma sensowny rząd wielkości.

Przykład 2 Wspak: z długości okręgu do pola

Długość okręgu wynosi $\textcolor{#16A06A}{12\pi}$ cm. Oblicz promień oraz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

Promień. Podstawiam do wzoru: $\textcolor{#16A06A}{12\pi} = 2\pi r$ .
Dzielę obie strony przez $2\pi$ — wolno, bo $2\pi$ nie jest zerem: $r = \frac{12\pi}{2\pi} = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm.
$\pi$ skróciło się samo, więc promień wyszedł liczbą całkowitą. Tak jest w większości zadań egzaminacyjnych i to dobry znak, że rachunek idzie właściwie.
Pole. $P = \pi \cdot \textcolor{#E0453A}{6}^2 = \textcolor{#2F80D8}{36\pi}$ cm².
Sprawdzenie w drugą stronę: dla $r = \textcolor{#E0453A}{6}$ mamy $L = 2\pi \cdot 6 = \textcolor{#16A06A}{12\pi}$ ✓ — wracam do danej z treści.
Kontrola sensu: promień 6 przy obwodzie około 37,7 cm — obwód jest ponad sześć razy większy ✓

Odpowiedź: $r = 6$ cm, $P = 36\pi$ cm².

Sprawdzenie polegające na powrocie do danej z treści jest tu najlepszą kontrolą, jaką można zrobić: liczy się inną drogą niż samo rozwiązanie, więc nie powiela ewentualnego błędu.

Przykład 3 Wspak z pola: pierwiastek, który się upraszcza

Pole koła wynosi $\textcolor{#16A06A}{49}\pi$ cm². Oblicz promień, średnicę i długość okręgu.

Promień. Ze wzoru $P = \pi r^2$ mam $\textcolor{#16A06A}{49}\pi = \pi r^2$ .
Dzielę obie strony przez $\pi$ : $r^2 = \textcolor{#E0453A}{49}$ .
Stąd $r = \textcolor{#E0453A}{7}$ cm — biorę wartość dodatnią, bo promień nie bywa ujemny.
Średnica to podwojony promień: $d = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#2F80D8}{14}$ cm.
Długość okręgu. Najkrócej ze średnicy: $L = \pi d = \textcolor{#8B5CF6}{14\pi}$ cm.
Kontrola drugim wzorem: $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#8B5CF6}{14\pi}$ ✓ — oba wzory dały to samo.
Kontrola powrotna: dla $r = \textcolor{#E0453A}{7}$ pole wynosi $\pi \cdot 49 = \textcolor{#16A06A}{49}\pi$ ✓

Odpowiedź: $r = 7$ cm, $d = 14$ cm, $L = 14\pi$ cm.

Pierwiastek w tym zadaniu w ogóle się nie pojawił jako trudność, bo $\pi$ skróciło się przed nim, a 49 jest kwadratem liczby całkowitej. Tak konstruuje się większość zadań egzaminacyjnych — jeśli pod pierwiastkiem wychodzi coś brzydkiego, warto sprawdzić rachunek.

Przykład 4 Figura złożona: prostokąt z półkolem

Do prostokąta o bokach $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm doklejono półkole o średnicy równej dłuższemu bokowi. Oblicz pole i obwód powstałej figury.

Promień półkola to połowa średnicy: $r = \frac{\textcolor{#16A06A}{10}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$ cm.
Pole prostokąta: $\textcolor{#16A06A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#2F80D8}{40}$ cm².
Pole półkola: połowa pola koła, czyli $\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \textcolor{#E0453A}{5}^2 = \frac{25\pi}{2} = \textcolor{#8B5CF6}{12{,}5\pi}$ cm².
Pola się dodają, bo półkole jest doklejone: $P = \textcolor{#2F80D8}{40} + \textcolor{#8B5CF6}{12{,}5\pi}$ cm².
Obwód — tu trzeba pomyśleć, co jest brzegiem. Obchodzę figurę palcem: dolny bok $\textcolor{#16A06A}{10}$ , lewy bok $\textcolor{#16A06A}{4}$ , łuk półokręgu, prawy bok $\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Długość półokręgu: $\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{5\pi}$ cm.
$\text{Obw} = \textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#E0453A}{5\pi} = \textcolor{#E0453A}{18 + 5\pi}$ cm.
Górnego boku prostokąta nie liczę, bo nie jest już brzegiem figury — w tym miejscu brzegiem jest łuk ✓

Odpowiedź: $P = 40 + 12{,}5\pi$ cm², obwód $= 18 + 5\pi$ cm.

Wyników nie da się zapisać prościej — to sumy liczby wymiernej i niewymiernej, więc zostają w tej postaci. Metoda „obejdź figurę palcem” jest tu warta więcej niż jakikolwiek wzór: sama pokazuje, że górny bok wypada z obwodu.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy. Pierwszy i ostatni odpowiadają za większość punktów traconych w tym dziale.

Doliczenie do obwodu odcinka, który przestał być brzegiem

Skąd się bierze: W figurze złożonej z prostokąta i półkola linia styku nadal widnieje na rysunku, więc odruchowo trafia do sumy. Tymczasem obwód to brzeg zewnętrzny figury, a tam brzegiem jest łuk. Dla przykładu z tej strony daje to $28 + 5\pi$ zamiast $18 + 5\pi$ — wynik o 10 za duży.

Jak zrobić dobrze: Obejdź figurę palcem po rysunku i licz tylko to, po czym palec przejechał. Linia podziału zostaje wewnątrz, więc palec jej nie dotyka. Ta metoda działa też przy figurach z wyciętymi kawałkami, gdzie brzegów bywa więcej niż jeden.

Pomylenie wzoru na pole ze wzorem na obwód

Skąd się bierze: Oba zawierają $\pi$ i $r$ , więc łatwo napisać $2\pi r$ tam, gdzie potrzebne jest $\pi r^2$ . Wynik wychodzi wtedy w złych jednostkach — pole w centymetrach zamiast w centymetrach kwadratowych — ale sama liczba wygląda wiarygodnie.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj jednostkę wyniku, nie wzór. Pole musi wyjść w cm², więc w rachunku musi wystąpić $r$ w kwadracie. Druga kontrola: dla $r = 1$ pole wynosi $\pi$ , a obwód $2\pi$ — jeśli wyszło odwrotnie, wzory są zamienione.

Podniesienie do kwadratu całego iloczynu zamiast samego promienia

Skąd się bierze: Zapis $\pi r^2$ bywa czytany jako $(\pi r)^2$ , czyli $\pi^2 r^2$ . Kwadrat dotyczy jednak tylko $r$ , bo taka jest kolejność działań. Dla $r = 5$ poprawnie wychodzi $25\pi$ , a błędnie $25\pi^2$ — wynik ponad trzy razy za duży.

Jak zrobić dobrze: Licz najpierw kwadrat promienia, a dopiero potem mnóż przez $\pi$ . Zapisanie tego jako dwóch osobnych kroków ( $5^2 = 25$ , potem $25\pi$ ) całkowicie eliminuje ten błąd.

Przybliżanie π na starcie zadania

Skąd się bierze: Wpisanie 3,14 w pierwszym kroku psuje wszystkie skrócenia, które mogłyby wyjść dalej. W zadaniu, gdzie pole wynosi $36\pi$ , dzielenie przez $\pi$ daje od razu $r^2 = 36$ ; po przybliżeniu trzeba dzielić 113,04 przez 3,14 i wynik obarczony jest błędem zaokrąglenia.

Jak zrobić dobrze: Prowadź cały rachunek z symbolem $\pi$ i zostaw wynik w postaci $12\pi$ , $36\pi$ , $18 + 5\pi$ . Przybliżaj wyłącznie wtedy, gdy polecenie tego żąda — a wtedy dopiero na samym końcu.

Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć długość okręgu?

Trzeba pomnożyć promień przez dwa i przez liczbę pi, czyli skorzystać ze wzoru na obwód. Jeśli w zadaniu podano średnicę zamiast promienia, można od razu pomnożyć ją przez pi, bo średnica jest dwa razy dłuższa od promienia. Wynik zwykle zostawia się z symbolem pi.

Jak obliczyć promień, gdy znam długość okręgu?

Wystarczy podzielić długość okręgu przez dwa pi. W zadaniach egzaminacyjnych długość podana jest zwykle w postaci liczby pomnożonej przez pi, więc symbol pi skraca się i promień wychodzi liczbą całkowitą. To dobry sygnał, że rachunek idzie poprawnie.

Jak obliczyć promień koła o danym polu?

Najpierw dzieli się pole przez pi, otrzymując kwadrat promienia, a potem wyciąga się z tej liczby pierwiastek kwadratowy. Bierzemy wartość dodatnią, ponieważ promień nie może być liczbą ujemną. Przy typowych danych egzaminacyjnych pod pierwiastkiem pojawia się kwadrat liczby całkowitej.

Czy wynik trzeba zamieniać na liczbę z przecinkiem?

Nie, jeżeli polecenie tego nie wymaga. Zapis z symbolem pi, na przykład dwanaście pi centymetrów, jest odpowiedzią pełną i dokładną, a zaokrąglenie oznacza utratę dokładności. Przybliżenie podaje się tylko wtedy, gdy zadanie wyraźnie o nie prosi.

Czy górny bok prostokąta wchodzi do obwodu figury z doklejonym półkolem?

Nie, ponieważ przestał być brzegiem figury i zastąpił go łuk półokręgu. Do obwodu liczy się wyłącznie to, po czym da się obejść figurę z zewnątrz. Najprościej sprawdzić to, przesuwając palec po rysunku wzdłuż krawędzi.

Jak obliczyć pole pierścienia kołowego?

Trzeba odjąć pole mniejszego koła od pola większego, czyli policzyć różnicę dwóch pól. Nie wolno obliczać pola koła o promieniu równym różnicy promieni, bo to zupełnie inna liczba. Wyłączenie pi przed nawias upraszcza rachunek i pozwala skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.

Czytaj dalej

Obwody figurObwody wielokątów i figur podzielonych Pola figurFigury złożone: podziel albo odejmij Egzamin ósmoklasistyWszystkie działy w jednym miejscu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst i rozwiązania: Mateusz Będkowski.