Strona główna › Zagadnienia dodatkowe

Zagadnienia dodatkowe — matematyka poza podstawą programową

Ten dział zbiera tematy, których nie ma w polskiej podstawie programowej dla liceum (wersja obowiązująca od 2025). Nie znaczy to, że są niepotrzebne — znaczy tylko, że nie zapytają o nie na maturze. Trafiają tu zagadnienia, na które uczniowie i tak trafiają: w olimpiadach, w podręcznikach akademickich, w zadaniach z fizyki albo po prostu z ciekawości. Każda strona w tym dziale nosi taką samą ramkę na górze, żeby nikt nie uczył się ich w przekonaniu, że to obowiązkowy materiał.

Dział: Zagadnienia dodatkowePoziom: liceum i wyżej — poza podstawą programową

1Czego tu szukać, a czego tu nie ma

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Wszystkie strony podpięte pod ten hub opisują materiał wykraczający poza podstawę programową obowiązującą od 2025 roku — zarówno w zakresie podstawowym, jak i rozszerzonym.

Na maturze te tematy nie wystąpią. Uczysz się ich dla siebie, na olimpiadę albo na zapas przed studiami.

Reszta serwisu trzyma się jednej zasady: opisujemy to, co jest w podstawie programowej, i pokazujemy, jak to rozwiązywać. Ten dział jest jedynym wyjątkiem i dlatego stoi osobno, a nie wymieszany z materiałem obowiązkowym.

Powód rozdzielenia jest praktyczny. Uczeń przygotowujący się do matury ma ograniczony czas i najgorsze, co można mu zrobić, to podsunąć rozdział, którego nie musi umieć, bez ostrzeżenia. Odwrotnie też: ktoś, kto chce wyjść poza program, nie powinien szukać po omacku.

Co znajdziesz w tym dziale:

Algebra liniowa — macierze, wyznacznik macierzy, macierz odwrotna i transponowanie macierzy. Aparat, którym na studiach rozwiązuje się układy równań o wielu niewiadomych.
Liczby zespolone — wprowadzenie, interpretacja geometryczna i wzór de Moivre'a. Zbiór, w którym każde równanie wielomianowe ma rozwiązanie.
Analiza — reguła de l'Hospitala do granic nieoznaczonych, szeregi liczbowe z kryteriami zbieżności, całkowanie przez podstawianie oraz ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Dowody i rozumowania — indukcja matematyczna, czyli schemat dowodu twierdzeń o wszystkich liczbach naturalnych naraz, oraz zasada szufladkowa Dirichleta, która pozwala udowodnić istnienie czegoś bez wskazywania tego czegoś. Obie wracają w zadaniach konkursowych, w podstawie nie ma żadnej z nich.
Język logiczny — logika ze spójnikami zdaniowymi i tabelami wartości, kwantyfikatory („dla każdego” i „istnieje”) oraz iloczyn kartezjański zbiorów, czyli zbiór par uporządkowanych. Podstawa dla liceum nie ma działu o logice — trzynaście działów i ani jeden o zdaniach czy kwantyfikatorach — mimo że same zwroty „dla każdego”, „istnieje” i „wtedy i tylko wtedy” padają w poleceniach na każdym poziomie.
Dokładki do działów szkolnych — iloczyn skalarny wektorów, którego brakuje obok wektorów z geometrii analitycznej; liczba $e$ i logarytm naturalny, o które uczniowie potykają się na kalkulatorze; liczby doskonałe jako ciekawostka prowadząca do problemu nierozwiązanego od dwóch tysięcy lat.

Czego tu nie ma: granic, pochodnych i szeregu geometrycznego. Te tematy w podstawie są — granice i pochodne w dziale o rachunku różniczkowym (zakres rozszerzony), szereg geometryczny w dziale o ciągach — więc mieszkają w głównej części serwisu razem z resztą materiału maturalnego.

Uwaga na bliźniacze nazwy, bo różnica jest tu ostra. Szereg geometryczny jest wymagany: podstawa mówi wprost „rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę”. Ogólne szeregi liczbowe — z warunkiem koniecznym, kryterium porównawczym i szeregiem harmonicznym — wymagane nie są i dlatego stoją w tym dziale.

Granica bywa cienka i warto ją znać. Sama reguła de l'Hospitala jest tu dobrym przykładem: liczy granice, a granice funkcji są w podstawie (XIII, zakres rozszerzony, pkt 1). Ale nazwy tej reguły w podstawie nie ma i żadne wymaganie jej nie wymienia — dlatego strona stoi w tym dziale, nie w analizie.

2Algebra liniowa — macierze i wyznaczniki

Macierz to prostokątna tabela liczb. Cała sztuka polega na tym, że taką tabelę można dodawać, mnożyć przez liczbę i mnożyć przez inną macierz, a te działania mają sens: opisują przekształcenia i układy równań.

Cztery strony w tym dziale są ułożone w kolejności, w jakiej warto je czytać:

Macierze — zapis, wymiary, dodawanie i mnożenie wiersz razy kolumna. Tu wychodzi na jaw, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Wyznacznik macierzy — jedna liczba przypisana macierzy kwadratowej. Wzór $2\times 2$ , reguła Sarrusa dla $3\times 3$ i metoda wyznaczników (wzory Cramera) w układach równań.
Macierz odwrotna — odpowiednik dzielenia. Istnieje dokładnie wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.
Transponowanie macierzy — odbicie względem przekątnej. Operacja najprostsza z całej czwórki, ale to w niej kryje się wzór $(AB)^T = B^TA^T$ z odwróconą kolejnością.

Związek z materiałem szkolnym jest bezpośredni: wyznacznik $2\times 2$ rozwiązuje układ dwóch równań liniowych i daje od razu odpowiedź na pytanie, czy układ jest oznaczony, sprzeczny czy nieoznaczony.

\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc

Ta jedna liczba mówi wszystko o układzie $\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$ : gdy jest różna od zera, rozwiązanie jest dokładnie jedno. Gdy wynosi zero, proste są równoległe — albo pokrywają się, albo nie mają punktu wspólnego.

W szkole ten sam wynik uzyskuje się metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników. Wyznacznik jest szybszy, ale nie jest wymagany — i dlatego stoi w tym dziale.

3Liczby zespolone — dokończenie mapy zbiorów liczbowych

W szkole mapa zbiorów liczbowych kończy się na liczbach rzeczywistych $\mathbb{R}$ . Liczby zespolone $\mathbb{C}$ dokładają do niej ostatnie piętro i robią to z konkretnego powodu.

Powód brzmi: w liczbach rzeczywistych nie każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie. Równanie $x^2 + 1 = 0$ nie ma go, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny. Wprowadzenie jednostki urojonej $i$ o własności $i^2 = -1$ ten brak likwiduje.

i^2 = -1 \qquad z = a + bi, \quad a, b \in \mathbb{R}

Zysk jest większy niż jedno równanie. W zbiorze $\mathbb{C}$ każdy wielomian stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków (licząc z krotnościami) — to zasadnicze twierdzenie algebry. W $\mathbb{R}$ takiej gwarancji nie ma i stąd biorą się szkolne przypadki „delta ujemna, brak rozwiązań”.

Trzy strony działu:

Liczby zespolone — jednostka urojona, postać algebraiczna, cztery działania i sprzężenie.
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej — płaszczyzna Gaussa, moduł i argument.
Wzór de Moivre'a — potęgowanie w postaci trygonometrycznej.

Warto wiedzieć, że w polskiej szkole liczby zespolone bywały materiałem obowiązkowym — w zakresie rozszerzonym sprzed reformy z lat dziewięćdziesiątych. Dziś nie ma ich ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym.

4Analiza — granice liczone pochodnymi

Reguła de l'Hospitala rozwiązuje jeden konkretny kłopot: granicę, która po podstawieniu daje symbol nieoznaczony $\tfrac{0}{0}$ albo $\tfrac{\infty}{\infty}$ .

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Wzór wygląda niewinnie, ale ma trzy warunki i to one są całą trudnością. Najczęstsza pomyłka polega na policzeniu pochodnej ilorazu zamiast ilorazu pochodnych — to dwie zupełnie różne rzeczy.

W podstawie programowej reguła nie występuje. Dział XIII (rachunek różniczkowy, zakres rozszerzony) wymienia sześć punktów — od obliczania granic po zadania optymalizacyjne — i nazwy „de l'Hospital” nie ma wśród nich. Granice funkcji trzeba więc na maturze liczyć innymi sposobami: rozkładem na czynniki, skróceniem ułamka albo wyłączeniem najwyższej potęgi.

Materiał, który jest w podstawie, opisujemy w głównej części serwisu: pochodne, wzory pochodnych, granica funkcji i granica ciągu.

Do tego działu należą jeszcze dwa tematy analityczne, po które sięga się dopiero na studiach:

Szeregi liczbowe — sumowanie nieskończenie wielu składników, warunek konieczny zbieżności, kryterium porównawcze i szereg harmoniczny. Szkolny szereg geometryczny jest jednym szczególnym przypadkiem tej teorii — i jedynym, który obowiązuje na maturze.
Całkowanie przez podstawianie — technika sprowadzania całki do prostszej przez zmianę zmiennej. Sensu nabiera dopiero po całkach i pochodnych.
Całki funkcji wymiernych — rozkład na ułamki proste. Najbardziej algorytmiczny fragment całego rachunku całkowego: procedura działa zawsze i kończy się w skończonej liczbie kroków.
Otoczenie punktu i punkt skupienia — aparat pojęciowy, którym zastępuje się szkolne słowo „blisko”. To on rozstrzyga, w których punktach pytanie o granicę w ogóle ma sens.
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami — liczenie objętości całką. Stąd biorą się szkolne wzory na stożek i kulę, których w liceum nie da się wyprowadzić. Podstawa każe je tylko stosować (X. Stereometria, zakres podstawowy, pkt 5: „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii”), a na maturze nie trzeba ich nawet pamiętać — $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ i $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$ stoją w karcie „Wybrane wzory matematyczne” CKE, na stronach 27 i 28.

Dochodzi do tego temat, który zaczyna się dokładnie tam, gdzie kończy się materiał maturalny: ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. W liceum ekstremum szuka się przez zerowanie pochodnej i tabelę zmienności; przy dwóch zmiennych pojawia się punkt siodłowy — minimum w jednym kierunku i maksimum w drugim naraz — a rozstrzyga o nim wyznacznik macierzy drugich pochodnych. To miejsce, w którym dwa wątki tego działu, analiza i algebra liniowa, spotykają się w jednym rachunku.

Osobno stoi indukcja matematyczna. To nie jest temat analityczny, tylko schemat dowodu: pozwala uzasadnić wzór dla wszystkich liczb naturalnych naraz, sprawdzając go dla jedynki i pokazując, że z każdego przypadku wynika następny. Bywa pokazywana w klasach olimpijskich przy wzorach na sumy ciągów, ale wymagana nie jest.

Drugim schematem dowodu w tym dziale jest zasada szufladkowa Dirichleta: jeżeli przedmiotów jest więcej niż szuflad, to w którejś są co najmniej dwa. Zdanie wygląda na banał, a rozstrzyga zadania konkursowe, w których trzeba wykazać, że coś istnieje, nie umiejąc tego czegoś wskazać. Podobnie jak indukcja: w podstawie programowej nie występuje ani razu, ani w szkole podstawowej, ani w liceum.

5Jak korzystać z tego działu przed maturą

Krótka odpowiedź: najpierw skończ materiał obowiązkowy. Ten dział jest nadprogramowy w dosłownym sensie — czas poświęcony na macierze to czas niepoświęcony na stereometrię, która na maturze będzie.

Są jednak trzy sytuacje, w których zaglądanie tutaj ma sens:

Przygotowanie na studia. Macierze i wyznaczniki to pierwszy semestr niemal każdego kierunku ścisłego. Przeczytanie ich wcześniej zamienia szok w powtórkę.
Olimpiady i konkursy. Zadania olimpijskie nie trzymają się podstawy programowej i liczby zespolone bywają w nich narzędziem do zadań z geometrii.
Zrozumienie, skąd biorą się szkolne reguły. Zasadnicze twierdzenie algebry tłumaczy, dlaczego wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia $3$ zawsze ma pierwiastek rzeczywisty, a stopnia $2$ nie musi: pierwiastki zespolone takiego wielomianu chodzą parami sprzężonymi, więc przy nieparzystym stopniu jeden zawsze musi zostać sam — i wtedy jest rzeczywisty. Zastrzeżenie o współczynnikach jest istotne, bo w samym $\mathbb{C}$ wielomian $(x - i)^3$ ma stopień $3$ i ani jednego pierwiastka rzeczywistego. Ze szkolnego poziomu to wygląda na kaprys.

Czego robić nie warto: uczyć się reguły de l'Hospitala zamiast szkolnych metod liczenia granic. Na maturze rozszerzonej granice liczy się przekształceniem wyrażenia i taka umiejętność jest punktowana. Reguła jest skrótem, który obok tej umiejętności działa dobrze, a zamiast niej — źle.

6Przykłady krok po kroku

Po jednym przykładzie z trzech obszarów rachunkowych — algebry liniowej, liczb zespolonych i analizy — żeby zobaczyć, o czym są te strony, zanim się w nie wejdzie. Czwarty obszar, dowody i rozumowania, ma własne przykłady na stronach o indukcji i o zasadzie szufladkowej.

Przykład 1 Układ równań rozwiązany wyznacznikami

Rozwiąż metodą wyznaczników układ $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}$ .

Wyznacznik główny buduję ze współczynników przy niewiadomych: $W = \det\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -2 - 3 = -5$ .
$W \neq 0$ , więc układ jest oznaczony — ma dokładnie jedno rozwiązanie. To pierwsza informacja, jaką daje wyznacznik.
$W_x$ powstaje z $W$ przez zastąpienie pierwszej kolumny wyrazami wolnymi: $W_x = \det\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = 8 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) = -8 + 3 = -5$ .
$W_y$ — to samo z drugą kolumną: $W_y = \det\begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = 2 \cdot (-1) - 8 \cdot 1 = -2 - 8 = -10$ .
$x = \dfrac{W_x}{W} = \dfrac{-5}{-5} = 1$ , $\quad y = \dfrac{W_y}{W} = \dfrac{-10}{-5} = 2$ .
Kontrola przez podstawienie do obu równań: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8$ ✓ oraz $1 - 2 = -1$ ✓.

Odpowiedź: $x = 1$ , $y = 2$ .

Przykład 2 Mnożenie liczb zespolonych i moduł wyniku

Oblicz $(2 + 3i)(1 - 2i)$ , a następnie moduł otrzymanej liczby.

Mnożę jak dwa nawiasy w wyrażeniu algebraicznym: $(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ .
Teraz jedyna rzecz, która odróżnia to od zwykłej algebry: $i^2 = -1$ , więc $-6i^2 = -6 \cdot (-1) = 6$ .
Redukuję wyrazy podobne: część rzeczywista $2 + 6 = 8$ , część urojona $-4i + 3i = -i$ . Wynik: $8 - i$ .
Moduł liczy się jak długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa: $|8 - i| = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$ .
Zostawiam $\sqrt{65}$ w postaci dokładnej — $65 = 5 \cdot 13$ nie ma czynnika kwadratowego, więc nic się z tego pierwiastka nie wyłącza.

Odpowiedź: $(2 + 3i)(1 - 2i) = 8 - i$ , moduł wynosi $\sqrt{65}$ .

Przykład 3 Granica nieoznaczona policzona regułą de l'Hospitala

Oblicz $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1}$ .

Najpierw sprawdzam, czy reguła w ogóle wolno zastosować. Podstawiam $x = 1$ : licznik $\ln 1 = 0$ , mianownik $1 - 1 = 0$ . Symbol $\tfrac{0}{0}$ — warunek spełniony.
Różniczkuję licznik i mianownik osobno (nie iloraz!): $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ oraz $(x - 1)' = 1$ .
Liczę granicę ilorazu pochodnych: $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1/x}{1} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{1} = 1$ .
Kontrola bez reguły: wyjściowe wyrażenie to dokładnie iloraz różnicowy funkcji $\ln$ w punkcie $1$ , bo $\ln 1 = 0$ . Granica ilorazu różnicowego to pochodna, czyli $(\ln x)'$ w punkcie $1$ , a to $\tfrac{1}{1} = 1$ ✓.

Odpowiedź: $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1} = 1$ .

7Najczęstsze błędy

Błędy zebrane niżej dotyczą samego korzystania z tego działu — cztery pułapki, które kosztują najwięcej.

Uczenie się tych tematów jako materiału maturalnego

Skąd się bierze: Ramka na górze każdej strony bywa przewijana bez czytania, a treść wygląda tak samo jak reszta serwisu. Skutek: uczeń poświęca wieczór na wyznaczniki, mając nieprzerobioną stereometrię, która na maturze wystąpi na pewno.

Jak zrobić dobrze: Traktuj ten dział jak lekturę nadobowiązkową. Wchodź tu dopiero wtedy, gdy materiał z podstawy jest przerobiony — albo świadomie, bo przygotowujesz się na studia lub konkurs.

Mnożenie macierzy element po elemencie

Skąd się bierze: Dodawanie macierzy działa właśnie tak — pole po polu — więc odruch podpowiada, że mnożenie też. Nieprawda: mnożenie macierzy to sumowanie iloczynów wiersza przez kolumnę i już same wymiary wyniku są inne, niż podpowiada intuicja.

Jak zrobić dobrze: Element wyniku w wierszu $i$ i kolumnie $j$ powstaje z $i$ -tego wiersza pierwszej macierzy i $j$ -tej kolumny drugiej. Szczegóły z rysunkiem na stronie macierze.

Stosowanie reguły de l'Hospitala do granicy, która nie jest nieoznaczona

Skąd się bierze: Reguła nie jest wzorem na granicę ilorazu, tylko ratunkiem dla dwóch symboli nieoznaczonych. Użyta poza nimi daje wynik fałszywy, a nie komunikat o błędzie — i właśnie dlatego jest groźna.

Jak zrobić dobrze: Zawsze najpierw podstaw wartość graniczną. Jeśli wychodzi $\tfrac{0}{0}$ albo $\tfrac{\infty}{\infty}$ — regułę wolno zastosować. Jeśli wychodzi cokolwiek innego, granica jest już policzona.

Przenoszenie własności pierwiastka na liczby ujemne

Skąd się bierze: Zapis $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$ wygląda poprawnie, a daje $1$ zamiast $-1$ . Wzór $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ obowiązuje wyłącznie dla $a, b \geq 0$ i poza tym zakresem po prostu nie działa.

Jak zrobić dobrze: W liczbach zespolonych operuj symbolem $i$ , a nie pierwiastkiem z liczby ujemnej: pisz $i^2 = -1$ i licz na wyrażeniach z $i$ . Zapisu $\sqrt{-1}$ lepiej w ogóle nie używać.

8Pytania i odpowiedzi

Czy zagadnienia z tego działu mogą pojawić się na maturze?

Nie. Arkusz maturalny sprawdza wyłącznie wymagania z podstawy programowej, a żadnego z tych tematów w niej nie ma — sprawdzone w wersji obowiązującej od 2025 roku, w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Znajomość macierzy czy liczb zespolonych nie zaszkodzi, ale nie da też ani jednego punktu.

Po co w takim razie te strony w serwisie o matematyce szkolnej?

Bo uczniowie i tak na te tematy trafiają: w zadaniach olimpijskich, w podręcznikach starszego rodzeństwa, na kursach przygotowujących na studia albo po prostu wpisując hasło w wyszukiwarkę. Lepiej, żeby znaleźli rzetelne wyjaśnienie z jasną informacją o statusie, niż żeby uczyli się z przypadkowego źródła i myśleli, że to obowiązkowe.

Czy liczby zespolone kiedyś były w polskiej podstawie programowej?

Tak, w zakresie rozszerzonym w programach sprzed reform z lat dziewięćdziesiątych liczby zespolone bywały materiałem licealnym. Stąd biorą się starsze zbiory zadań, w których stoją obok wielomianów. W obecnej podstawie — ani w wersji do 2024, ani w tej od 2025 — nie ma ich w żadnym zakresie.

Jak sprawdzić, czy dany temat jest w podstawie programowej?

Podstawa programowa jest dokumentem publicznym i wymienia wymagania punkt po punkcie, działami. Jeśli temat nie występuje w treści żadnego punktu — nie ma go w podstawie, nawet gdy sąsiaduje z materiałem, który tam jest. Właśnie dlatego reguła de l'Hospitala trafiła do tego działu, choć granice funkcji są wymagane.

Czy z tych stron da się przygotować do egzaminu na studiach?

Do pierwszego zetknięcia z tematem — tak, i taki jest ich cel. Do sesji z algebry liniowej to za mało: brakuje tu macierzy większych niż trzy na trzy, przestrzeni wektorowych, rzędu macierzy i eliminacji Gaussa. Traktuj te strony jako wstęp, po którym akademicki wykład przestaje być pierwszym kontaktem z pojęciem.

Czytaj dalej

MacierzeZapis, wymiary i mnożenie wiersz razy kolumna Wyznacznik macierzyWzór 2×2, reguła Sarrusa i metoda wyznaczników Liczby zespoloneJednostka urojona, działania i sprzężenie Reguła de l'HospitalaGranice nieoznaczone liczone pochodnymi Macierz odwrotnaOdpowiednik dzielenia i warunek z wyznacznikiem Całki — funkcja pierwotna i całka oznaczonaRachunek całkowy od podstaw: skąd się bierze i po co Całkowanie przez podstawianieNajczęstsza metoda liczenia całek nieoznaczonych Wzory całkowe wybranych funkcjiTabela całek podstawowych z przykładami Całki funkcji wymiernychRozkład na ułamki proste krok po kroku

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.