Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Liczba e

Liczba e

Q: Ile wynosi liczba e?

W przybliżeniu dwa i siedemset osiemnaście tysięcznych. Jest to liczba niewymierna, więc jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza, podobnie jak w przypadku liczby pi.

Q: Czy liczba e jest potrzebna do matury?

Nie. Podstawa programowa dla liceum nie wymienia liczby e ani logarytmu naturalnego w żadnym zakresie, ani podstawowym, ani rozszerzonym. Temat pojawia się dopiero na studiach.

Q: Skąd bierze się liczba e?

Z granicy oprocentowania przy coraz częstszej kapitalizacji. Złotówka na sto procent rocznie daje po roku dwa złote przy kapitalizacji rocznej, a przy nieskończenie częstej zbliża się właśnie do liczby e.

Q: Co oznacza zapis ln?

Logarytm naturalny, czyli logarytm o podstawie e. Nie jest to nowe działanie — obowiązują dla niego wszystkie zwykłe wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

Q: Czym różni się log od ln?

W polskiej szkole log bez indeksu oznacza logarytm dziesiętny, a ln zawsze naturalny. W literaturze zagranicznej i w językach programowania sam log bywa jednak logarytmem naturalnym.

Q: Czy da się opisać rozpad promieniotwórczy bez liczby e?

Tak, i szkoła właśnie tak robi. Zapis z okresem półtrwania jest równoważny modelowi z liczbą e, a dla zadań wygodniejszy, bo nie wymaga logarytmu naturalnego.

Liczba $e \approx 2{,}718$ pojawia się na kalkulatorach, w podręcznikach akademickich i przy przycisku $\ln$ — a uczniowie trafiają na nią, nie wiedząc, czy trzeba się jej uczyć. Odpowiedź brzmi: do matury nie. Warto jednak wiedzieć, czym jest, bo nie jest to liczba wymyślona dla ozdoby — wychodzi z pytania, które sam zadałem przy procencie składanym: co się stanie, gdy odsetki naliczać coraz częściej?

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: poza podstawą programową — matura nie wymaga

1Uczciwie o zakresie

⚠️ Tego nie ma w podstawie programowej

Sprawdziłem całą podstawę programową dla liceum: liczba $e$ , logarytm naturalny ani stała Eulera nie występują w wymaganiach z matematyki ani razu — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Zaskakujące jest natomiast co innego: karta wzorów CKE liczbę $e$ zawiera. Na stronie 11, wśród wybranych granic, stoi $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e$ , a na stronie 33 karta dopowiada: „ $e$ jest liczbą Eulera; $e \approx 2{,}72$ ”. Wymagania i karta to więc dwie różne listy — i akurat tutaj karta idzie dalej.

Dział I wymienia „logarytmy” bez określania podstawy oraz wzory na działania na nich. O liczbie $e$ nie ma tam ani słowa.

Do matury — podstawowej i rozszerzonej — ta strona nie jest potrzebna. Jeśli uczysz się do egzaminu i trafiłeś tu z wyszukiwarki, spokojnie możesz ją pominąć i wrócić do logarytmów.

Należy do działu Zagadnienia dodatkowe, w którym zebrane są tematy spoza podstawy programowej.

Skąd więc bierze się w podręcznikach? Z trzech miejsc, wszystkich poza szkołą średnią:

analiza matematyczna na studiach — $e^x$ jest jedyną funkcją, która nie zmienia się po zróżniczkowaniu i przyjmuje w zerze wartość $1$ ; bez tego drugiego zastrzeżenia warunek $f' = f$ spełnia każda funkcja postaci $C e^x$ , w tym funkcja stale równa zeru,
fizyka i chemia — rozpad promieniotwórczy, stygnięcie, reakcje pierwszego rzędu opisuje się przez $e$ ,
kalkulatory naukowe — przycisk $\ln$ obok $\log$ , przez co uczniowie natrafiają na niego przypadkiem.

Ta strona odpowiada więc na pytanie „co to jest i czy muszę to znać”, a nie uczy do egzaminu.

2Skąd bierze się akurat ta liczba

Przy procencie składanym pokazałem, że częstsza kapitalizacja daje coraz więcej, ale coraz mniej. Liczba $e$ jest odpowiedzią na pytanie, gdzie leży granica tego procesu.

Weźmy skrajny przypadek: kapitał $1$ zł, oprocentowanie $100\,\%$ rocznie, i pytanie, ile będzie po roku przy różnej częstotliwości kapitalizacji.

K = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}

kapitalizacja	$n$	wynik
raz w roku	$1$	$2{,}000000$
co pół roku	$2$	$2{,}250000$
co miesiąc	$12$	$2{,}613035$
codziennie	$365$	$2{,}714567$
co godzinę	$8760$	$2{,}718127$
co mikrosekundę…	$\to \infty$	$\mathbf{2{,}718281\ldots}$

Wyniki nie rosną w nieskończoność — zbliżają się do konkretnej liczby i nigdy jej nie przekraczają. Ta liczba to właśnie $e$ .

e = 2{,}718281828\ldots

To jest cała definicja. Liczba $e$ nie została wymyślona ani wybrana — jest wynikiem pytania o granicę oprocentowania ciągłego.

Dlaczego kapitał nie rośnie w nieskończoność

Intuicja podpowiada, że skoro częstsza kapitalizacja daje więcej, to nieskończenie częsta powinna dać nieskończenie dużo. Tak się nie dzieje.

Powód: przy podziale roku na $n$ części każda z nich ma coraz mniejsze oprocentowanie — $\frac{1}{n}$ . Dokładanych odsetek jest więcej, ale każde są odpowiednio mniejsze i oba efekty się równoważą.

Ta sama liczba wychodzi niezależnie od tego, od czego zaczniemy — dlatego $e$ uchodzi za stałą naturalną, a nie umowną.

Liczba $e$ jest niewymierna, podobnie jak $\pi$ czy $\sqrt2$ — jej rozwinięcie dziesiętne nie kończy się i nie powtarza. Zapis $2{,}718$ to zaokrąglenie, a nie wartość dokładna.

3Logarytm naturalny

Skoro $e$ jest liczbą, można ją wziąć za podstawę logarytmu — i dokładnie to robi zapis $\ln$ .

\ln x = \log_e x

Nie jest to nowe działanie, tylko logarytm o konkretnej podstawie. Wszystkie poznane wzory obowiązują bez zmian:

wzór ogólny	wersja z $\ln$
$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$	$\ln(xy) = \ln x + \ln y$
$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$	$\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y$
$\log_a x^n = n\log_a x$	$\ln x^n = n \ln x$
$\log_a a = 1$	$\ln e = 1$
$\log_a 1 = 0$	$\ln 1 = 0$

Trzy zapisy logarytmu, które warto rozróżniać:

$\log_a x$ — podstawa napisana wprost,
$\log x$ — w polskiej szkole logarytm dziesiętny, o podstawie $10$ ,
$\ln x$ — logarytm naturalny, o podstawie $e$ .

Pułapka zapisu w literaturze zagranicznej

W wielu podręcznikach anglojęzycznych oraz w językach programowania zapis ' log ' bez indeksu oznacza logarytm naturalny, a nie dziesiętny.

Funkcja ' Math.log ' w JavaScripcie, ' log ' w Pythonie i ' log ' w C to logarytm o podstawie $e$ . Dziesiętny ma tam osobną nazwę, zwykle ' log10 '.

Przy przepisywaniu wzorów z obcych źródeł warto sprawdzić, o którą podstawę chodzi — pomyłka zmienia wynik o stały czynnik $\ln 10 \approx 2{,}303$ .

4Gdzie się realnie przydaje

Poza szkołą liczba $e$ pojawia się wszędzie tam, gdzie coś zmienia się w tempie proporcjonalnym do swojej wielkości.

zjawisko	co rośnie proporcjonalnie do siebie
rozpad promieniotwórczy	liczba rozpadów zależy od liczby atomów
stygnięcie	tempo stygnięcia zależy od różnicy temperatur
wzrost populacji	liczba narodzin zależy od liczebności populacji
oprocentowanie ciągłe	odsetki zależą od kapitału

Wspólny mechanizm: im więcej czegoś jest, tym szybciej się zmienia. Taki proces opisuje się funkcją $e^{kt}$ — rosnącą dla $k>0$ , malejącą dla $k<0$ .

W szkole te same zjawiska opisuje się prościej, przez funkcję wykładniczą o wygodnej podstawie — na przykład rozpad przez $\left(\frac12\right)^{t/T}$ z okresem półtrwania. Wynik jest ten sam, różni się tylko zapis.

Czy trzeba znać e, żeby zrozumieć rozpad?

Nie. Zapis z okresem półtrwania, którego uczy szkoła, jest równoważny i dla zadań wygodniejszy — nie wymaga logarytmu naturalnego.

Liczba $e$ staje się potrzebna dopiero wtedy, gdy zjawisko trzeba różniczkować, a to zaczyna się na studiach.

Innymi słowy: $e$ nie jest trudniejszą wersją tego samego, tylko narzędziem do innego rodzaju pytań.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: obliczanie granicy, działania na logarytmie naturalnym i porównanie zapisów.

Przykład 1 Jak blisko e jest kapitalizacja dzienna

Oblicz, ile wyniesie $1$ zł po roku przy oprocentowaniu $100\,\%$ i kapitalizacji codziennej. Porównaj z liczbą $e$ .

Rok dzieli się na $\textcolor{#16A06A}{365}$ okresów, każdy o oprocentowaniu $\frac{1}{\textcolor{#16A06A}{365}}$ .
$K = \left(1 + \frac{1}{\textcolor{#16A06A}{365}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{365}}$
Podstawa nawiasu: $1 + \frac{1}{365} \approx 1{,}00274$ .
Po podniesieniu do potęgi $\textcolor{#16A06A}{365}$ : $K \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}714567}$ zł.
Liczba $e \approx \textcolor{#2F80D8}{2{,}718282}$ , więc różnica wynosi około $\textcolor{#2F80D8}{0{,}0037}$ zł — mniej niż grosz.
Kontrola kierunku: wynik jest mniejszy od $e$ ✓ — ciąg zbliża się do granicy od dołu i nigdy jej nie przekracza
Kontrola przez rzadszą kapitalizację: dla $n = 12$ wychodzi $2{,}613035$ , czyli dalej od $e$ ✓ — częstsza kapitalizacja daje bliżej

Odpowiedź: Około $2{,}71$ zł — o niecały grosz mniej niż $e$ .

Praktyczny wniosek dla banku: przejście z kapitalizacji dziennej na ciągłą zmienia wynik o ułamek grosza. Dlatego oprocentowanie ciągłe jest wygodnym modelem matematycznym, a nie ofertą, o którą warto walczyć.

Przykład 2 Działania na logarytmie naturalnym

Oblicz wartość wyrażenia $\ln e^3 + \ln 1 - \ln e$ .

Pierwszy składnik — wzór na logarytm potęgi: $\ln e^{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \ln e$ .
Ponieważ $\ln e = \textcolor{#E0453A}{1}$ (logarytm podstawy z samej siebie), mamy $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Drugi składnik: $\ln 1 = \textcolor{#E0453A}{0}$ — dla każdej podstawy, bo $e^0 = 1$ .
Trzeci składnik: $\ln e = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Razem: $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{0} - \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#2F80D8}{2}$ .
Kontrola inną drogą — najpierw zwijam całość wzorami na sumę i różnicę: $\ln\frac{e^3 \cdot 1}{e} = \ln e^2 = 2$ ✓
Kontrola liczbowa: $\ln(e^3) \approx 3$ , bo $e^3 \approx 20{,}086$ , a $\ln 20{,}086 \approx 3$ ✓

Odpowiedź: Wyrażenie jest równe $2$ .

Żaden krok nie wymagał znajomości wartości $e$ . To typowe: w zadaniach z $\ln$ liczba $e$ prawie nigdy nie jest podstawiana — działa się na wzorach, dokładnie tych samych co dla zwykłych logarytmów.

Przykład 3 Ten sam rozpad w dwóch zapisach

Izotop ma okres półtrwania $8$ dni. Zapisz, jaka część próbki zostanie po $24$ dniach — sposobem szkolnym i przez liczbę $e$ .

Sposób szkolny. Trzy okresy półtrwania, więc mnożnik to $\left(\frac{1}{2}\right)^{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{8}}$ .
Sposób przez $e$ . Model ciągły ma postać $N = N_0 e^{-kt}$ , gdzie $k$ wyznacza się z okresu półtrwania.
Z warunku $\frac{1}{2} = e^{-k \cdot 8}$ wychodzi $k = \frac{\ln 2}{8} \approx \frac{0{,}6931}{8} \approx \textcolor{#16A06A}{0{,}08664}$ .
Po $24$ dniach: $e^{-\textcolor{#16A06A}{0{,}08664} \cdot 24} = e^{-2{,}0794} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}125}$ .
Oba sposoby dają to samo: $\textcolor{#E0453A}{\frac{1}{8}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}125}$ ✓
Kontrola: $\ln 2 \approx 0{,}6931$ , a $\frac{0{,}6931}{8} \cdot 24 = 0{,}6931 \cdot 3 \approx 2{,}0794$ — to po prostu $3\ln 2 = \ln 8$ ✓
Czyli $e^{-\ln 8} = \frac{1}{8}$ ✓ — tożsamość, nie przybliżenie

Odpowiedź: Zostanie $\frac{1}{8}$ próbki — tyle samo w obu zapisach.

Ostatni krok pokazuje, dlaczego szkoła nie potrzebuje liczby $e$ : model ciągły sprowadza się do potęgi jednej drugiej, tylko okrężną drogą. Zapis z $e$ zyskuje przewagę dopiero przy różniczkowaniu.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy tego, czy w ogóle się tego uczyć.

Uczenie się liczby e do matury

Skąd się bierze: Podstawa programowa dla liceum nie wymienia liczby $e$ ani logarytmu naturalnego w żadnym zakresie. Czas poświęcony na ten temat przed egzaminem jest czasem odebranym materiałowi, który faktycznie się pojawi.

Jak zrobić dobrze: Do matury opanuj logarytmy o podstawie dowolnej i dziesiętnej oraz funkcję wykładniczą. Liczba $e$ przyda się na studiach i wtedy będzie na nią czas.

Traktowanie $\ln$ jako osobnego działania

Skąd się bierze: Zapis $\ln x$ to po prostu $\log_e x$ — logarytm o konkretnej podstawie. Uczenie się osobnych wzorów dla niego podwaja materiał bez powodu, bo wszystkie prawa logarytmów działają tak samo.

Jak zrobić dobrze: Traktuj $\ln$ jak każdy inny logarytm. Jedyne, co warto zapamiętać osobno, to $\ln e = 1$ — a i to wynika z ogólnej reguły, że logarytm podstawy z samej siebie równa się jeden.

Mylenie $\log$ z $\ln$ przy wzorach z zagranicznych źródeł

Skąd się bierze: W literaturze anglojęzycznej i w językach programowania zapis bez indeksu oznacza zwykle logarytm naturalny, a w polskiej szkole — dziesiętny. Przepisanie wzoru bez sprawdzenia zmienia wynik o czynnik około $2{,}303$ .

Jak zrobić dobrze: Przy wzorach z obcych źródeł sprawdź, jaka jest podstawa. Jeśli obok występuje ' log10 ', to samo ' log ' jest prawie na pewno naturalne.

Uznanie 2,718 za dokładną wartość

Skąd się bierze: Liczba $e$ jest niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne nie kończy się i nie powtarza, podobnie jak przy $\pi$ . Zapis $2{,}718$ to zaokrąglenie do trzech miejsc.

Jak zrobić dobrze: W rachunkach zostawiaj symbol $e$ tak długo, jak się da, i zaokrąglaj dopiero na końcu. Przy wielu mnożeniach błąd zaokrąglenia narasta.

7Pytania i odpowiedzi

Ile wynosi liczba e?

W przybliżeniu dwa i siedemset osiemnaście tysięcznych. Jest to liczba niewymierna, więc jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza, podobnie jak w przypadku liczby pi.

Czy liczba e jest potrzebna do matury?

Nie. Podstawa programowa dla liceum nie wymienia liczby e ani logarytmu naturalnego w żadnym zakresie, ani podstawowym, ani rozszerzonym. Temat pojawia się dopiero na studiach.

Skąd bierze się liczba e?

Z granicy oprocentowania przy coraz częstszej kapitalizacji. Złotówka na sto procent rocznie daje po roku dwa złote przy kapitalizacji rocznej, a przy nieskończenie częstej zbliża się właśnie do liczby e.

Co oznacza zapis ln?

Logarytm naturalny, czyli logarytm o podstawie e. Nie jest to nowe działanie — obowiązują dla niego wszystkie zwykłe wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

Czym różni się log od ln?

W polskiej szkole log bez indeksu oznacza logarytm dziesiętny, a ln zawsze naturalny. W literaturze zagranicznej i w językach programowania sam log bywa jednak logarytmem naturalnym.

Czy da się opisać rozpad promieniotwórczy bez liczby e?

Tak, i szkoła właśnie tak robi. Zapis z okresem półtrwania jest równoważny modelowi z liczbą e, a dla zadań wygodniejszy, bo nie wymaga logarytmu naturalnego.

Czytaj dalej

LogarytmyTo, czego matura naprawdę wymaga Procent składanyPytanie, z którego bierze się liczba e Funkcja wykładniczaSzkolny sposób opisu wzrostu i rozpadu Liczby rzeczywisteCzym są liczby niewymierne

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.