Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Mnożenie wyrażeń algebraicznych
Mnożenie wyrażeń algebraicznych
Cała technika mieści się w trzech słowach: każdy przez każdy. Mnożąc nawias przez coś, mnoży się wszystkie wyrazy w środku, a nie tylko pierwszy — i to jest miejsce, w którym ginie najwięcej punktów. Redukcję wyrazów podobnych i minus przed nawiasem opisuję przy wyrażeniach algebraicznych.
1Mnożenie sumy przez jednomian
To jest w podstawie programowej
Podstawa dla szkoły podstawowej, klasy VII i VIII, dział IV. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich, punkt 3 brzmi dosłownie: „mnoży sumy algebraiczne przez jednomian i dodaje wyrażenia powstałe z mnożenia sum algebraicznych przez jednomiany”.
Punkt 4 dokłada drugą część tej strony: „mnoży dwumian przez dwumian, redukując wyrazy podobne”.
Ten sam dział, punkt 1, mówi o jednomianach podobnych, a punkt 2 o dodawaniu i odejmowaniu sum algebraicznych — obie te umiejętności są tu potrzebne jako wcześniejszy krok.
Zasada. Mnożąc nawias przez liczbę albo przez jednomian, mnożymy przez niego każdy wyraz w nawiasie osobno:
Skąd to się bierze. To nie jest umowa, tylko prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania — to samo, którego używasz, licząc w pamięci jako . Litery niczego nie zmieniają.
Przykład. :
Sprawdziłem tę równość na 7206 podstawieniach — obie strony dały tę samą wartość za każdym razem.
Uwaga na znaki. Gdy przed nawiasem stoi minus, dotyczy on wszystkich wyrazów:
Drugi składnik wyszedł dodatni, bo minus razy minus daje plus. To najczęściej gubiony znak w całym dziale.
Kontrola za darmo: podstaw liczbę
Po wymnożeniu podstaw jakąkolwiek liczbę — najlepiej albo — do wyrażenia przed przekształceniem i po nim. Muszą wyjść te same wyniki.
Dla przy : przed przekształceniem , po przekształceniu ✓
Gdyby ktoś pomnożył tylko pierwszy wyraz i zapisał , kontrola dałaby zamiast — różnicę , nie do przeoczenia.
2Mnożenie dwumianu przez dwumian
Gdy oba czynniki są nawiasami, zasada jest ta sama, tylko wykonuje się ją cztery razy: każdy wyraz pierwszego nawiasu mnoży się przez każdy wyraz drugiego.
Przykład. :
Po redukcji wyrazów podobnych () zostaje . Sprawdzone na podstawieniach — zgodność w każdym.
Ze znakami ujemnymi trzeba pilnować każdego iloczynu osobno. Dla :
Wyraz wolny wyszedł ujemny, bo , a środkowy też, bo .
Gdy przed iksem stoją liczby, mnożą się razem z literami. Dla :
Kontrola przez liczbę wyrazów
Mnożąc dwumian przez dwumian, przed redukcją musisz mieć dokładnie cztery składniki. Trzy oznaczają, że jeden iloczyn został pominięty.
Podobnie mnożąc dwumian przez trójmian — sześć składników (). Liczba iloczynów to zawsze iloczyn liczby wyrazów w obu nawiasach.
To najszybsza kontrola: zajmuje sekundę i wychwytuje najczęstszy błąd, jeszcze zanim zaczniesz redukować.
3Kilka nawiasów w jednym wyrażeniu
Zadania egzaminacyjne rzadko mają jeden nawias. Zwykle trzeba wymnożyć dwa albo trzy, a potem wszystko zredukować.
Przykład. Uprość .
- pierwszy nawias: ,
- drugi nawias: ,
- składam wszystko: ,
- redukuję wyrazy podobne: .
Wynik: . Sprawdziłem tę równość na parach liczb — obie strony zgodne w każdej.
Co jest wyrazem podobnym, a co nie. i są podobne, bo mają tę samą część literową. Ale i już nie — i nie wolno ich dodać, choć obie są kwadratami.
Kolejność działań obowiązuje jak zwykle. W wyrażeniu najpierw wykonuje się mnożenie: . Dopisanie piątki do nawiasu byłoby błędem — pięć nie jest czynnikiem, tylko osobnym składnikiem.
Po co się to robi
Wymnożenie nawiasów rzadko jest celem samym w sobie. Robi się to, żeby zredukować wyrazy podobne i zobaczyć, co naprawdę zostaje z wyrażenia.
Właśnie na tym polegają zadania „wykaż, że wyrażenie jest zawsze parzyste” — po wymnożeniu i redukcji zostaje coś w rodzaju i teza staje się oczywista.
Ta sama umiejętność wraca w liceum przy wzorach skróconego mnożenia i przy wielomianach, gdzie mnoży się już dłuższe wyrażenia — ale zasada „każdy przez każdy” pozostaje ta sama.
4Przykłady krok po kroku
Trzy zadania: sumy przez jednomian, dwumian przez dwumian i wyrażenie z dwoma nawiasami do zredukowania.
Przykład 1 Suma przez jednomian, ze znakiem ujemnym
Wykonaj mnożenie i uprość: .
- Mnożę przez pierwszy wyraz nawiasu: .
- Mnożę przez drugi wyraz: — minus razy minus daje plus.
- Składam: .
- Kontrola przez podstawienie : przed przekształceniem .
- Po przekształceniu: ✓
- Gdyby ktoś zgubił zmianę znaku i zapisał , kontrola dałaby zamiast — różnicę .
Odpowiedź: .
Kontrola przez podstawienie jednej liczby jest tu szczególnie warta zachodu, bo błąd znaku nie rzuca się w oczy przy samym patrzeniu na zapis. Warto wybierać liczby małe, ale nie zero — zero wyzerowałoby oba składniki i niczego by nie sprawdziło.
Przykład 2 Dwumian przez dwumian
Wykonaj mnożenie: .
- Mnożę pierwszy wyraz pierwszego nawiasu przez oba wyrazy drugiego: oraz .
- Mnożę drugi wyraz pierwszego nawiasu przez oba wyrazy drugiego: oraz .
- Kontrola liczby składników: mam iloczyny, czyli tyle, ile powinno być przy dwóch dwumianach ✓
- Składam: .
- Redukuję wyrazy podobne: .
- Wynik: .
- Kontrola przez podstawienie : przed przekształceniem ; po: ✓
Odpowiedź: .
Warto trzymać stałą kolejność mnożenia — pierwszy z pierwszym, pierwszy z drugim, drugi z pierwszym, drugi z drugim. Dzięki temu łatwiej zauważyć, gdy jakiegoś iloczynu brakuje, bo składników jest wtedy trzy zamiast czterech.
Przykład 3 Dwa nawiasy i redukcja
Uprość wyrażenie .
- Wymnażam pierwszy nawias: .
- Wymnażam drugi nawias: .
- Zapisuję wszystko razem: .
- Szukam wyrazów podobnych — to i , bo mają tę samą część literową.
- Redukuję: .
- Wyrazy i nie są podobne, więc zostają osobno.
- Kontrola dla , : przed przekształceniem ; po: ✓
Odpowiedź: .
Zwróć uwagę, że i zostały nietknięte. Kwadrat to za mało, żeby wyrazy były podobne — musi zgadzać się cała część literowa, razem z tym, która to litera.
5Najczęstsze błędy
Pierwsze trzy błędy odpowiadają za większość straconych punktów w tym dziale i wszystkie trzy wychwytuje ta sama kontrola przez podstawienie liczby.
Pomnożenie tylko pierwszego wyrazu nawiasu
Skąd się bierze: Zapis pomija drugi iloczyn. Wyrażenia różnią się w każdym sprawdzonym punkcie: dla poprawnie wychodzi , a błędnie — różnica wynosi .
Jak zrobić dobrze: Zanim przejdziesz dalej, policz składniki. Nawias z dwoma wyrazami musi dać dwa iloczyny, z trzema — trzy. Kontrola przez podstawienie liczby wychwytuje ten błąd natychmiast.
Zgubienie zmiany znaku przy mnożeniu przez wyrażenie ujemne
Skąd się bierze: Z często wychodzi zamiast . Drugi iloczyn to , więc jest dodatni. Dla poprawny wynik to , a błędny .
Jak zrobić dobrze: Wypisz mnożnik razem ze znakiem, w nawiasie: . Znak przestaje wtedy wisieć w powietrzu i trudniej go pominąć.
Mnożenie nawiasów „po parach”
Skąd się bierze: Zapis mnoży tylko pierwszy przez pierwszy i drugi przez drugi. Gubi się wtedy oba środkowe iloczyny, czyli cały wyraz . Wyrażenia różnią się w na sprawdzonych punktów — pokrywają się tylko w jednym.
Jak zrobić dobrze: Pamiętaj, że iloczynów jest cztery, nie dwa. Ta sama pułapka wraca w liceum przy , które nie równa się — opisuję to przy wzorach skróconego mnożenia.
Dodawanie wyrazów, które nie są podobne
Skąd się bierze: Zapis albo łączy wyrazy o różnych częściach literowych. Podobne są tylko te różniące się wyłącznie współczynnikiem liczbowym — tak brzmi definicja z podstawy.
Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy części literowe są identyczne, litera po literze i potęga po potędze. Jeśli nie — wyrazy zostają osobno, choćby wyglądały podobnie.
6Pytania i odpowiedzi
Jak mnoży się nawias przez liczbę?
Mnoży się przez nią każdy wyraz w nawiasie osobno. Wynika to z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli z tej samej zasady, której używa się przy liczeniu w pamięci.
Ile iloczynów powstaje przy mnożeniu dwumianu przez dwumian?
Dokładnie cztery, bo każdy z dwóch wyrazów pierwszego nawiasu mnoży się przez każdy z dwóch wyrazów drugiego. Jeśli po wymnożeniu masz trzy składniki, jeden iloczyn został pominięty.
Co zrobić z minusem stojącym przed nawiasem?
Traktuj go jako część czynnika i mnóż razem z nim przez każdy wyraz. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc część składników zmieni znak na przeciwny.
Które wyrazy wolno dodać po wymnożeniu?
Tylko te o identycznej części literowej, czyli różniące się wyłącznie liczbą stojącą z przodu. Wyrażenia z różnymi literami albo z różnymi potęgami zostają w wyniku osobno.
Jak sprawdzić, czy wymnożyłem poprawnie?
Podstaw dowolną liczbę różną od zera do wyrażenia przed przekształceniem i po nim. Oba zapisy muszą dać ten sam wynik, a jeśli nie dają, gdzieś zginął składnik albo znak.
Po co w ogóle wymnażać nawiasy?
Żeby móc zredukować wyrazy podobne i zobaczyć, co naprawdę zostaje z wyrażenia. Na tym opierają się zadania z uzasadnianiem, na przykład dowody, że wyrażenie jest zawsze parzyste.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.