Strona główna › Tabliczka mnożenia › Historia

Historia tabliczki mnożenia — od glinianej tabliczki do procesora

Tabliczki mnożenia nie wymyślił Pitagoras. Używano jej w Babilonie około dwa tysiące lat przed jego narodzinami, a najstarsza tabliczka dziesiętna świata to chińskie listwy bambusowe sprzed ok. 2 300 lat. Ten tekst prowadzi przez cztery tysiące lat: od gliny mieszczącej się w dłoni, przez pocięte na pręciki kości Napiera, po algorytm, który dziś liczy w procesorze Twojego telefonu. Wszystkie daty pochodzą ze źródeł, które otworzyłem, a rachunki są przeliczone.

Dział: MatematykaPoziom: szkoła podstawowa

Wyłącz kolory

Kiedy dziecko pisze w zeszycie „tabliczka mnożenia”, używa słowa, które przez cztery tysiące lat znaczyło dokładnie to, co znaczy. Najstarsze znane tabliczki mnożenia były tabliczkami — kawałkami gliny wielkości dłoni, z wyciśniętym w nich pismem klinowym.

To jest jedna z tych historii, w których polszczyzna przypadkiem zachowała prawdę.

1Babilon: rok nauki i system, którym do dziś mierzymy czas

Najstarsze tabliczki mnożenia pochodzą z Mezopotamii sprzed około czterech tysięcy lat, z terenu dzisiejszego Iraku. Z ruin tej cywilizacji wykopano setki tysięcy glinianych tabliczek; matematyki dotyczy z nich około tysiąca.

Miały rozmiar mniej więcej 5 na 8 centymetrów — tak, żeby wygodnie leżały w dłoni. Zapisywano na nich liczby w systemie sześćdziesiątkowym, pozycyjnym, zbudowanym z dwóch znaków: jednego oznaczającego jedynkę i jednego oznaczającego dziesiątkę. Trochę jak cyfry rzymskie, gdyby ograniczyć je do I oraz X.

Dwie rzeczy w tym systemie zaskakują współczesnego czytelnika.

Nie mieli zera. Nie istniał symbol pustego miejsca. Nie było też odpowiednika przecinka: wszystkie liczby zapisywano tak, jakby były całkowite, a skalę trzeba było wywnioskować z kontekstu. Ta sama sekwencja znaków mogła znaczyć 2, 120 albo jedną trzydziestą.

Dzielenie nie istniało jako osobne działanie. Dla babilońskiego skryby podzielić przez n znaczyło pomnożyć przez 1/n. Dlatego nauka zaczynała się nie od tabliczki mnożenia, tylko od tablicy odwrotności.

Wiemy nawet, w jakiej kolejności się tego uczono — i to dzięki jednemu małemu domowi. W Domu F w Nippur, 150 km na południe od dzisiejszego Bagdadu, w budynku z około 1740 roku p.n.e., znaleziono blisko 1 500 fragmentów szkolnych ćwiczeń. Gliniane tabliczki pocięto i wmurowano jako cegiełki w ściany, podłogę i meble. Wykopaliska prowadzono w 1951 roku, a znaleziska rozdzielono między trzy muzea — w Chicago, Filadelfii i Bagdadzie — i długo nikt nie badał ich razem. Poskładała je dopiero Eleanor Robson.

Program był bardzo stały. Najpierw dzieci uczyły się wyrabiać tabliczki i trzymać rylec, potem stawiać pojedyncze kliny, potem całe znaki i imiona — z ogromną ilością wkuwania. Do liczb docierały dopiero po jakichś dwóch latach nauki.

A potem zaczynała się seria tabliczek mnożenia — ułożona odwrotnie, niż zrobiłby to ktokolwiek dzisiaj. Zaczynali od największych liczb: 50, 48, 45, 40 i szli w dół, kończąc na tabliczce dwójki, która po tamtych musiała im się wydawać śmiesznie łatwa.

Warto się nad tym zatrzymać. My układamy naukę od najłatwiejszego do najtrudniejszego i traktujemy to jako oczywistość. Babilończycy robili dokładnie na odwrót — i robili tak przez stulecia. Nie znaczy to, że mieli rację; znaczy tyle, że kolejność, którą uważamy za naturalną, jest wyborem, a nie prawem natury.

Babilon nie odszedł

Tabliczki kończą się kolofonem — podpisem skryby i datą. Babilońskie słowo na „razy” brzmiało a-rà; tabliczka VAT7858 z berlińskiego Vorderasiatisches Museum zaczyna się od linijki, którą można przeczytać jako „10 a-rà 1 — 10”.

Ale najtrwalszy ślad po tych ludziach nosisz na ręku. Sześćdziesiąt sekund w minucie, sześćdziesiąt minut w godzinie, trzysta sześćdziesiąt stopni w pełnym kącie — to jest babiloński system sześćdziesiątkowy, który przetrwał wszystkie cywilizacje, jakie po nim przyszły. Dziecko, które mnoży przez 60, żeby zamienić godziny na minuty, wykonuje polecenie wydane nad Eufratem.

Jest jeszcze jeden sposób, żeby poczuć tę odległość: starobabilońscy skrybowie wyprzedzają Rzymian mniej więcej o tyle samo lat, o ile Rzymianie wyprzedzają nas.

2Chiny: najstarsza tabliczka dziesiętna i tabliczka, która była wierszem

Babilończycy liczyli w systemie sześćdziesiątkowym. Tabliczka w postaci, którą byśmy dziś rozpoznali — dziesiętna — pojawia się dwa tysiące lat później, w Chinach.

W 2008 roku Uniwersytet Tsinghua otrzymał w darze zbiór bambusowych listew, datowanych na okres Walczących Królestw, około 305 roku p.n.e. Wśród nich historycy rozpoznali dwadzieścia jeden listew, które ułożone we właściwej kolejności tworzą macierz mnożenia. Górny wiersz i skrajna prawa kolumna zawierają dziewiętnaście liczb: 0,5, liczby całkowite od 1 do 9 oraz dziesiątki od 10 do 90. Tablica pozwala pomnożyć dowolne dwie liczby całkowite lub połówkowe od 0,5 do 99,5.

Guinness World Records uznaje ją za najstarszą dziesiętną tabliczkę mnożenia świata. Wyprzedza pierwsze europejskie tabliczki dziesiętne o mniej więcej osiemnaście wieków — te pochodzą dopiero z renesansu.

Historia ma też drugie dno: listwy pochodzą najpewniej z nielegalnego wykopu grobowca, a darczyńca kupił je na targu w Hongkongu.

九九歌 — pieśń dziewięć-dziewięć

Chińska tabliczka nazywa się tabliczką dziewięć-dziewięć, bo w starożytności zaczynała się od 9 × 9 i szła w dół: „dziewięć dziewiątek rodzi osiemdziesiąt jeden, osiem dziewiątek rodzi siedemdziesiąt dwa…”. Uczony Wang Guowei wiązał to z kultem dziewiątki w dawnych Chinach; cesarza określano formułą „dziewięć-pięć”, zaczerpniętą z Księgi Przemian.

Ale najciekawsza jest jej forma. Osiemdziesiąt jeden wersów po cztery–pięć znaków daje stały metr. To nie jest tabela, którą się czyta. To jest wiersz, który się recytuje — i właśnie dlatego wchodzi do głowy.

Dla wszystkich, którzy machają ręką na rymowanki do nauki tabliczki: najstarsza dziesiętna tabliczka mnożenia świata była pieśnią.

Chińczycy skrócili ją do 45 pozycji. Dwa tysiące lat temu

I tu pojawia się fakt, który trudno przecenić.

Istniała krótsza wersja pieśni, licząca 45 zdań zamiast 81 — bo „dziewięć ósemek” i „osiem dziewiątek” to przecież to samo, więc nie ma powodu uczyć się obu.

To jest dokładnie ten rachunek, który dziś pokazuje się rodzicom, tłumacząc, że sto pól tabliczki to w rzeczywistości pięćdziesiąt pięć różnych działań. Chińczycy zrobili ten krok dwa tysiące lat przed nami.

A potem się z niego wycofali. Gdy w dynastii Ming liczydło wyparło pałeczki rachunkowe, autorzy podręczników zaczęli namawiać z powrotem na pełną wersję. Argument był praktyczny: przy liczydle liczy się szybkość odruchu, a recytowanie bez chwili namysłu przyspiesza liczenie.

Spór o to, czy uczyć wszystkiego, czy tylko tego, co nieredukowalne, ma zatem dwa tysiące lat i do dziś nie został rozstrzygnięty. Wrócimy do niego na końcu.

3Grecja: skąd wzięła się „tabliczka Pitagorasa”

Po francusku, włosku i rosyjsku tabliczka mnożenia nazywa się tablicą Pitagorasa. Bywa tak i po angielsku. Nazwa jest piękna i prawie na pewno nieprawdziwa.

Pitagoras żył około 570–495 p.n.e. Babilończycy używali tabliczek mnożenia półtora tysiąca lat wcześniej. Encyklopedie formułują to ostrożnie: tabliczka bywa przypisywana Pitagorasowi.

Co jest natomiast udokumentowane:

• Nikomachos z Gerazy (ok. 60–120 n.e.), neopitagorejczyk z dzisiejszego Jerash w Jordanii, zamieścił tabliczkę w Wprowadzeniu do arytmetyki. To jedna z najwcześniejszych grecko-rzymskich tabliczek, jakie znamy.
• Najstarsza zachowana grecka tabliczka mnożenia to tabliczka woskowa z I wieku n.e., przechowywana w British Museum.
• Łacińska parafraza Nikomachosa pióra Boecjusza stała się standardowym podręcznikiem średniowiecznej Europy.
• W 493 roku Wiktoriusz z Akwitanii ułożył 98-kolumnową tablicę mnożenia zapisaną cyframi rzymskimi, obejmującą iloczyny liczb od 2 do 50.

Klamra, na którą natrafiłem przypadkiem

Nikomachos jest też patronem twierdzenia Nikomachosa: suma sześcianów kolejnych liczb równa się kwadratowi ich sumy.

Policzmy, ile wynosi suma wszystkich stu wyników z tabliczki mnożenia do 100:

3025

A teraz kwadrat sumy liczb od 1 do 10:

55² = 3025

I suma sześcianów:

1³ + 2³ + … + 10³ = 3025

To jest ta sama liczba. Sprawdziłem to rachunkiem do n = 200 — trzyma bez wyjątku.

Nazwa jest przy tym odrobinę na wyrost, i warto o tym wiedzieć. Na końcu rozdziału 20 swojej książki Nikomachos podał obserwację o liczbach nieparzystych — że pierwsza jest sześcianem jedynki, suma dwóch następnych sześcianem dwójki i tak dalej. Dalej nie poszedł. Takżsamość sum sześcianów z tego wynika, ale nie jest zdaniem, które zapisał. Ta sama zależność pojawia się niezależnie u Aryabhaty w Indiach w V wieku i u Al-Karadżiego w Persji około roku 1000.

Mamy więc drugi raz na jednej stronie to samo zjawisko: tabliczka Pitagorasa nie jest Pitagorasa, a twierdzenie Nikomachosa nie zostało przez Nikomachosa sformułowane.

4Krata w oknie, kości Napiera i pewien uporczywy mit

Mnożenie wielocyfrowe długo zapisywano w siatce z przekątnymi — metodą nazywaną po włosku gelosia, po arabsku shabakh. Oba słowa znaczą to samo: metalowa krata w oknie. Metoda po prostu tak wygląda.

Bardzo podobną technikę, kapat-sandhi, wspomina komentarz do dwunastowiecznej Lilavati Bhaskaracharyi. Gdzie powstała pierwotnie — nie wiadomo; trwa spór, czy nie wymyślono jej niezależnie w kilku miejscach świata.

Warto natomiast wiedzieć, czego w tej historii nie ma. Powtarza się, że mnożenie kratowe opisał al-Chwarizmi albo Fibonacci w Liber Abaci. U żadnego z nich takiego użycia nie znaleziono. To dobra ciekawostka właśnie dlatego, że pokazuje, jak łatwo fałszywa atrybucja krąży po internecie — i jak trudno ją potem zatrzymać.

Przy okazji: skąd wziął się znak ×

Najwcześniejsze znane użycie znaku × w znaczeniu mnożenia pojawia się w anonimowym dodatku do wydania dzieła Johna Napiera z 1618 roku. Dodatek przypisuje się Williamowi Oughtredowi, który użył tego samego symbolu w swoim podręczniku Clavis Mathematicae z 1631 roku.

Skrzyżowane przekątne pojawiają się wcześniej — u Roberta Recorde'a i w wydaniu Almagestu z 1551 roku — ale nie jako symbol działania, tylko jako element rysunku.

Krążące po internecie „przełom XVI i XVII wieku” jest więc nieprecyzyjne: 1618 to już wyraźnie wiek XVII.

1617: tabliczka zamieniona w urządzenie

John Napier pociął tabliczkę mnożenia na pręciki. Na każdym wypisał wielokrotności jednej liczby; ułożone obok siebie pozwalały zamienić mnożenie w dodawanie, a dzielenie w odejmowanie. Wprawny użytkownik wyciągał nimi pierwiastki kwadratowe.

Opublikował to w 1617 roku w Edynburgu, dedykując patronowi Alexandrowi Setonowi, i ukuł na swój wynalazek słowo rabdologia. To nie są logarytmy, z którymi Napiera kojarzy się częściej — ale cel był ten sam: zamienić trudne działanie na łatwe.

Na kościach Napiera bywa wygrawerowana „tablica Pitagorasa”. Mit wykuty w kości.

5Metoda sprzed trzech i pół tysiąca lat, która liczy w Twoim telefonie

Najbardziej zaskakujący wątek tej historii dotyczy metody, która tabliczki mnożenia nie potrzebuje w ogóle.

Mnożenie egipskie — zwane też rosyjskim albo chłopskim — wymaga wyłącznie trzech umiejętności: podwajania, dzielenia na pół i dodawania. Znane jest z papirusów Rhinda i moskiewskiego, z których papirus Rhinda (ok. 1550 p.n.e.) skopiował skryba Ahmes ze starszego tekstu, a papirus moskiewski jest jeszcze starszy (ok. 1725 p.n.e.) i jego skryby nikt nie zna.

Metoda rozkłada jeden z czynników na sumę potęg dwójki, buduje tabelę podwojeń drugiego czynnika i sumuje właściwe wiersze.

Po przeliczeniu na zapis dwójkowy jest to dokładnie ten sam algorytm, który realizują układy mnożące we współczesnych procesorach. Starożytni Egipcjanie nie znali pojęcia podstawy 2 — a mimo to w nią trafili.

6Co znaczy samo słowo „mnożyć”

Na polskich stronach krąży wersja: „słowo mnożyć pochodzi od łacińskiego multus, co oznacza składanie”. To pomieszanie dwóch części tego samego słowa.

multiplicare  „zwiększać”
  ← multiplex  „mający wiele fałd, wielokrotny”
      ← multus  „wiele, dużo”
      + -plex   „-krotny, -fałdowy”  ← praindoeuropejskie *plek- „pleść”

Znaczenie „składania” niesie -plex, a nie multus. I jest tu coś ładniejszego, niż mówi błędna wersja: łacińskie multiplex znaczy dosłownie „mający wiele fałd”, a praindoeuropejski korzeń plek- znaczy „pleść”.

Mnożenie jest więc etymologicznie wielokrotnym splataniem — co nieźle pasuje do metody nazwanej od kraty w oknie.

7Ile kazano się uczyć dawniej

Na koniec zestawienie dla wszystkich, którzy pamiętają, że „kiedyś uczono porządniej”.

W 1820 roku John Leslie w The Philosophy of Arithmetic opublikował tablicę ćwiartek kwadratów pozwalającą mnożyć do 1000 × 1000 — i zalecał uczniom opanowanie tabliczki do 50 × 50. To dwa i pół tysiąca pól. W 1897 August Leopold Crelle wydał tablice z iloczynami do 1000 × 10000.

Dziś spieramy się o sto pól. A jeśli policzyć uczciwie — odrzucić powtórzenia wynikające z przemienności i te działania, które wynikają z reguł, a nie z pamięci — zostaje dwadzieścia jeden.

Kierunek tej historii jest jednoznaczny. Im lepiej rozumiemy strukturę tabliczki, tym mniej trzeba jej pamiętać. Babilończycy uczyli się rok. Chińczycy zapisali ją jako wiersz i skrócili o połowę. Napier pociął ją na pręciki, żeby nie trzeba było jej pamiętać wcale.

My możemy po prostu pokazać dziecku, że to nie jest sto rzeczy do zapamiętania.

8Źródła

Wszystkie otwarte i przeczytane 19 września 2026.

• Old Babylonian multiplication and reciprocal tables — Stony Brook University
• Babylonian mathematics — Wikipedia
• Tsinghua Bamboo Slips — Wikipedia
• Chinese multiplication table — Wikipedia
• Oldest decimal multiplication table — Guinness World Records
• Multiplication table — Wikipedia
• Nicomachus — Wikipedia · Squared triangular number — Wikipedia
• Lattice multiplication — Wikipedia
• Napier's bones — Wikipedia
• Ancient Egyptian multiplication — Wikipedia

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-19. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.