Strona główna › Tabliczka mnożenia › Ciekawostki

Dwadzieścia trzy ciekawostki o tabliczce mnożenia, które sprawdziłem

Każda liczba w tym tekście jest policzona, a nie znaleziona. Internet jest pełen ciekawostek o tabliczce mnożenia, które krążą bez źródła i których nikt nie sprawdza — trzy z nich prostuję tu wprost. Reszta to rzeczy, które policzyłem skryptem: ile naprawdę jest różnych wyników w stu polach, które liczby pojawiają się tylko raz i dlaczego akurat one, oraz jedno pytanie z tabliczki, na które matematycy nie znają odpowiedzi od siedemdziesięciu lat.

Dział: MatematykaPoziom: szkoła podstawowa

Wyłącz kolory

Internet jest pełen ciekawostek o tabliczce mnożenia. Większość z nich krąży bez źródła i nikt ich nie sprawdza.

Ten tekst powstał odwrotnie. Każdą liczbę tutaj policzyłem skryptem, a nie znalazłem. Gdzie rachunek nie zgodził się z tym, co przeczytałem, piszę o tym wprost — bo to też jest ciekawostka, i to często ciekawsza od samego faktu.

11. W stu polach tabliczki są tylko 42 różne liczby

To jest fakt, który robi największe wrażenie i na dzieciach, i na dorosłych.

Tabliczka do 100 ma sto pól. Ale wiele wyników się powtarza — nie tylko dlatego, że 7 · 8 i 8 · 7 dają to samo, ale też dlatego, że 12 to zarówno 2 · 6, jak i 3 · 4.

Po odrzuceniu wszystkich powtórzeń zostają czterdzieści dwie różne liczby. Pozostałe pięćdziesiąt osiem pól to ta sama liczba wpisana po raz drugi, trzeci albo czwarty.

Zadanie na lekcję: niech klasa spróbuje wypisać wszystkie różne wyniki. Zajmuje kwadrans i zostaje w głowie na długo.

22. Sześć liczb pojawia się w tabliczce dokładnie raz

To 1, 25, 49, 64, 81 i 100.

Dlaczego akurat te? Bo są kwadratami, których w zakresie do dziesięciu nie da się rozłożyć inaczej. Dwadzieścia pięć to tylko 5 · 5 i koniec.

Ciekawsze jest to, których kwadratów na tej liście nie ma: 4, 9, 16 i 36. Każdy z nich ma drugą drogę dojścia — 4 to także 1 · 4, 16 to także 2 · 8, a 36 to także 4 · 9.

33. Najczęstsze wyniki pojawiają się po cztery razy

Są to 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30 i 40 — dziewięć liczb, i cztery razy to maksimum w całej tabeli. Każda z nich ma dwie różne pary czynników, a każda para występuje w dwóch kolejnościach: 24 = 3·8 i 4·6, 30 = 5·6 i 3·10, 40 = 5·8 i 4·10.

44. W całej tabliczce są tylko cztery liczby pierwsze

2, 3, 5 i 7. Każda występuje wyłącznie w wierszu i kolumnie jedynki — bo liczba pierwsza z definicji nie ma innego rozkładu.

Jedenastka i trzynastka już się nie mieszczą. Gdyby tabliczka sięgała do dwunastu, jak w Anglii, doszłaby jeszcze jedenastka.

55. Suma całej tabliczki to 3025 — i to nie jest przypadkowa liczba

Dodaj wszystkie sto wyników. Wyjdzie 3025.

A teraz policz kwadrat sumy liczb od 1 do 10: 55² = 3025.

I sumę sześcianów: 1³ + 2³ + … + 10³ = 3025.

To ta sama liczba. Nazywa się to twierdzeniem Nikomachosa — od tego samego Nikomachosa z Gerazy, który około roku 100 n.e. zostawił jeden z najwcześniejszych zachowanych opisów tabliczki mnożenia.

Sprawdziłem to do n = 200. Trzyma bez wyjątku.

Ciekawostka w ciekawostce: Nikomachos tego twierdzenia nie sformułował. Na końcu rozdziału 20 podał obserwację o liczbach nieparzystych, z której to wynika — i dalej nie poszedł. Nazwa wskazuje inspirację, nie autora.

66. Naprawdę trzeba nauczyć się 21 działań, nie stu

Policzmy uczciwie, krok po kroku:

Każdy stopień jest uczciwy — zależy tylko, ile reguł uznamy za opanowane. Przy typowym poziomie klasy trzeciej sensowną odpowiedzią jest 21.

To 21 procent tabeli. Gdyby uczyć po jednym działaniu dziennie, wystarczyłyby trzy tygodnie.

77. Suma cyfr każdej wielokrotności dziewiątki dzieli się przez dziewięć

9 → 9. 18 → 1+8 = 9. 63 → 6+3 = 9. 99 → 9+9 = 18, a 18 to wciąż wielokrotność dziewiątki.

To działa dla wszystkich liczb, nie tylko dla tabliczki — i jest podstawą sprawdzianu podzielności przez 9.

88. W tabliczce dziewiątki dziesiątki rosną, a jedności maleją

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

Pierwsza cyfra: 0, 1, 2, 3, 4… Druga: 9, 8, 7, 6, 5… Wystarczy zauważyć raz, żeby nigdy więcej nie liczyć tej tabliczki.

99. Sztuczka z palcami na dziewiątkę nie jest magią

Rozłóż dziesięć palców. Żeby pomnożyć 9 przez n, zegnij palec numer n. Palce po lewej to dziesiątki, po prawej — jedności.

Dlaczego to działa? Zgięcie palca numer n dzieli pozostałe na n − 1 z lewej i 10 − n z prawej. Metoda daje więc 10·(n−1) + (10−n), a to po uproszczeniu jest równe 9n. Sprawdzone dla wszystkich n od 1 do 10.

Sztuczka bez wyjaśnienia znika po wakacjach. Z wyjaśnieniem — zostaje.

1010. Metoda na palcach dla liczb 6–10 zawodzi fizycznie, nie rachunkowo

Tu popełniłem błąd, który warto opisać.

Dla liczb od 6 do 10 istnieje metoda na dwóch rękach. Napisałem test, który miał pokazać, że poniżej szóstki przestaje działać. Test wypadł negatywnie — czyli metoda nie zawodziła.

Okazało się, że tożsamość, na której metoda stoi — 10(x+y) + (5−x)(5−y) = (5+x)(5+y) — jest prawdziwa zawsze, dla wszystkich par liczb.

Metoda zawodzi z zupełnie innego powodu. Dla liczby mniejszej niż 6 wychodzi x = a − 5 < 0, a ujemnej liczby palców nie da się podnieść. Dla 1, 2, 3 i 4 metoda jest poprawna matematycznie i niewykonalna manualnie.

To dobra lekcja także dla dzieci: „nie działa” i „nie da się wykonać” to dwie różne rzeczy.

1111. Mnożenie przez 4 to podwojone podwojenie

4 · 7 to 7 podwojone (14) i jeszcze raz podwojone (28). A 8 · 7 to to samo podwojone trzy razy: 14, 28, 56.

Sprawdzone dla wszystkich liczb od 1 do 10. Dzięki temu dwadzieścia siedem z pięćdziesięciu pięciu par da się policzyć samym podwajaniem.

1212. Różnice kolejnych kwadratów to kolejne liczby nieparzyste

1, 4, 9, 16, 25, 36… Różnice: 3, 5, 7, 9, 11.

Stąd ładny wniosek: suma pierwszych dziesięciu liczb nieparzystych to dokładnie 100, czyli 10². Suma pierwszych n liczb nieparzystych zawsze daje n².

1313. Sąsiad kwadratu jest zawsze o jeden mniejszy

n² − 1 = (n−1)(n+1).

Praktycznie: jeśli dziecko pamięta, że 7 · 7 = 49, to 6 · 8 dostaje za darmo — to 48. To samo z 8 · 8 = 64, więc 7 · 9 = 63.

1414. Sztuczka z jedenastką — i moment, w którym się psuje

11 · 23? Rozsuń cyfry i wstaw ich sumę w środek: 2 | 5 | 3, czyli 253. 11 · 45 → 4 | 9 | 5 → 495.

Ale 11 · 89 → 8 | 17 | 9 — i tu się psuje, bo 8 + 9 = 17 i trzeba przeniesienia. Prawidłowy wynik to 979.

Sztuczka z ostrzeżeniem jest lepsza niż sztuczka bez. Dziecko, które zna granicę metody, nie straci do niej zaufania przy pierwszym trudniejszym przypadku.

1515. Każde z 21 trudnych działań rozkłada się na dwa łatwe

Sprawdziłem wszystkie dwadzieścia jeden. Każde z nich da się zapisać jako dwa mnożenia, w których występuje wyłącznie 1, 2, 5 albo 10 — czyli te cztery, których dziecko nie musi pamiętać.

Na przykład 7 · 8 to 7 · 10 − 7 · 2, czyli 70 − 14 = 56.

Niezgodnych wyników: zero.

1616. Anglicy uczą do dwunastu, bo tuzin ma więcej dzielników

Dwunastka ma sześć dzielników (1, 2, 3, 4, 6, 12). Dziesiątka ma cztery (1, 2, 5, 10). Dlatego tuzin dzieli się na połowy, trzecie i czwarte części, a dziesiątka nie.

Encyklopedia podaje, że dwunastka należy do bardzo wąskiej grupy liczb o szczególnej własności. Sprawdziłem to rachunkiem i przy pierwszym podejściu nie odtworzyłem listy — dopiero trzeci możliwy odczyt zdania okazał się prawdziwy: chodzi o liczby, dla których żadna liczba mniejsza od ich podwojenia nie ma więcej dzielników.

Przy tym odczycie do trzech tysięcy takich liczb jest siedem: 1, 2, 6, 12, 60, 360 i 2520. Zgadza się co do jednej pozycji.

Zauważ, że są wśród nich 60 i 360 — babilońska sześćdziesiątka i liczba stopni w pełnym kącie. To nie przypadek.

1717. W roku mieści się mniej więcej tuzin cykli Księżyca

365,2422 dzielone przez 29,5306 daje 12,37. To jedna z hipotez tłumaczących, dlaczego tuzin jest tak starym grupowaniem.

Dwanaście tuzinów to gros (144 = 12²), a dwanaście grosów to wielki gros (1728 = 12³).

1818. W Anglii tabliczkę sprawdza państwo — i komplet ma dwoje dzieci na pięcioro

Multiplication Tables Check jest obowiązkowy dla uczniów Year 4 w szkołach finansowanych ze środków publicznych: 25 pytań na ekranie, po 6 sekund na odpowiedź i trzy sekundy przerwy między nimi, z tabliczek do 12. Całość zajmuje średnio niecałe pięć minut. Test nie ma progu zdawalności — służy szkole do wyłapania dzieci, które potrzebują wsparcia.

W roku 2024/25 komplet 25 na 25 zdobyło 37 procent uczniów i był to najczęstszy wynik. Rok wcześniej było 34 procent, a średni wynik wzrósł z 20,6 do 21,0 punktu na 25 możliwych.

Innymi słowy: nawet przy obowiązkowym sprawdzianie, dłuższej tabliczce i sześciu sekundach na działanie komplet ma jedna trzecia. To argument przeciwko panice, nie za nią.

1919. Dwieście lat temu zalecano tabliczkę do 50 × 50

W 1820 roku John Leslie w The Philosophy of Arithmetic zalecał uczniom opanowanie tabliczki do 50 × 50 — czyli dwa i pół tysiąca pól. W 1897 Crelle wydał tablice z iloczynami do 1000 × 10000.

Następnym razem, gdy ktoś powie, że kiedyś uczono porządniej, warto mieć tę liczbę pod ręką.

2020. Znak × debiutuje u Napiera — tego od kości

Najwcześniejsze znane użycie znaku × w znaczeniu mnożenia pojawia się w anonimowym dodatku do wydania dzieła Johna Napiera z 1618 roku. Dodatek przypisuje się Williamowi Oughtredowi, który użył tego samego symbolu w podręczniku Clavis Mathematicae z 1631 roku.

Skrzyżowane przekątne pojawiają się wcześniej — u Roberta Recorde'a i w wydaniu Almagestu z 1551 — ale nie jako symbol działania, tylko jako element rysunku.

Klamra: znak mnożenia debiutuje w książce tego samego Napiera, który pociął tabliczkę mnożenia na pręciki.

2121. „Mnożyć” znaczy etymologicznie „wielokrotnie spleść”

Na polskich stronach krąży wersja: „słowo mnożyć pochodzi od łacińskiego multus, co oznacza składanie”. To pomieszanie dwóch części tego samego słowa:

multiplicare  „zwiększać”
  ← multiplex  „mający wiele fałd, wielokrotny”
      ← multus  „wiele, dużo”
      + -plex   „-krotny, -fałdowy”  ← praindoeuropejskie *plek- „pleść”

Znaczenie „składania” niesie -plex, a nie multus. Prawdziwa wersja jest ładniejsza: multiplex znaczy dosłownie „mający wiele fałd”, a korzeń plek- znaczy „pleść”.

Mnożenie jest więc etymologicznie wielokrotnym splataniem — co nieźle pasuje do metody mnożenia nazwanej od kraty w oknie.

2222. Nie, tabliczki nie wymyślił Pitagoras

Po francusku, włosku i rosyjsku tabliczka mnożenia nazywa się tablicą Pitagorasa, i polski internet powtarza za tym, że Pitagoras był jej twórcą.

Pitagoras żył ok. 570–495 p.n.e. Babilończycy używali tabliczek mnożenia około 2000 p.n.e. — półtora tysiąca lat wcześniej. Chińska tabliczka dziesiętna pochodzi z około 305 p.n.e. (datowanie radiowęglowe: 305 ± 30).

Encyklopedie piszą ostrożnie, że tabliczka bywa przypisywana Pitagorasowi. To nie to samo, co „jest jego”. Udokumentowany jest natomiast Nikomachos z Gerazy (ok. 60–120 n.e.), który zamieścił tabliczkę w Wprowadzeniu do arytmetyki — i najstarsza zachowana grecka tabliczka, woskowa, z I wieku n.e., w British Museum.

2323. Tabliczka mnożenia zawiera pytanie, którego matematycy nie rozwiązali

Wiemy, że w tabliczce 10 × 10 są 42 różne liczby. Ale ile ich jest w tabliczce n × n dla dużych n?

• 1955 — Paul Erdős dowodzi, że różnych iloczynów jest istotnie mniej niż n². Im większa tabliczka, tym większy procent pól to powtórzenia.
• 2008 — Kevin Ford podaje właściwy rząd wielkości. To wciąż nie jest wzór asymptotyczny.
• Dziś — dokładne zachowanie pozostaje nieznane. Ben Green i Mehtaab Sawhney zapowiedzieli wzór z funkcją oscylacyjną w członie wiodącym — ich praca jest w literaturze oznaczona jako „w przygotowaniu”, więc nie jest to jeszcze opublikowany dowód.

Siedemdziesiąt lat pracy nad pytaniem, które da się zadać ośmiolatkowi.

To chyba najlepsza puenta, jaką ma ten temat: tabliczka mnożenia, której uczymy dzieci w trzeciej klasie, nie została jeszcze do końca zrozumiana.

24Skąd te liczby

Wszystkie rachunki w tym tekście wykonał skrypt, który sprawdza każdą tezę osobno — łącznie 57 faktów liczbowych. Dwa razy wynik nie zgodził się z tym, co przeczytałem, i za każdym razem błąd był po mojej stronie: raz w teście metody na palcach, raz w odczycie zdania o dzielnikach dwunastki. Oba przypadki opisałem wyżej, bo uczą więcej niż fakt, który miały potwierdzić.

Trzy ciekawostki (20, 21, 22) to prostowanie rzeczy, które polski internet przepisuje po sobie: etymologii słowa „mnożyć”, daty pojawienia się znaku × i autorstwa Pitagorasa.

Źródła zewnętrzne: GOV.UK — Multiplication tables check · multiply — Etymonline · Multiplication sign — Wikipedia · MTC attainment 2023/24 · Multiplication table — Wikipedia · Squared triangular number — Wikipedia · Dozen — Wikipedia · Brent, The Multiplication Table Problem Revisited

25Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-19. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.