Kartkówka PDF · sklep
Tabliczka mnożenia: 6, 7, 8, 9 — kartkówka, klasa 3
Kartkówka z matematyki dla uczniów klasy 3.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Strona główna › Tabliczka mnożenia › Najtrudniejsze działania
Które działania z tabliczki mnożenia są naprawdę najtrudniejsze
Najtrudniejsza nie jest siódemka, tylko dziewiątka. Każdy rodzic ma swoją listę działań „zawsze na tym się wykłada” — okazuje się, że da się to sprawdzić. W badaniu, w którym dorośli po każdym działaniu mówili, czy pamiętają wynik, czy go liczą, wyszedł ranking wszystkich 36 działań. Pojedynczo najgorsze są 6 · 9 i 7 · 9, a najłatwiejsze w całej tabliczce jest 6 · 6 — mimo że to duże liczby. Poniżej pełna lista i trzy wnioski, które da się zastosować od jutra.
Do wydrukowania: karta postępu na 21 działań
Jeśli po przeczytaniu zechcesz rozłożyć powtórki nierówno — tu jest miejsce na zaznaczanie, co już siedzi. Dwie strony A4, bez czasu i bez oceniania.
Każdy rodzic, który przerabiał tabliczkę z dzieckiem, ma swoją listę działań „zawsze na tym się wykłada”. Zwykle są na niej siódemki. Okazuje się, że da się to sprawdzić — i że intuicja tylko częściowo trafia.
1Skąd wiadomo, co jest trudne
W 1996 roku Jo-Anne LeFevre z zespołem zrobili badanie, które brzmi banalnie, a nie było robione wcześniej: kazali ludziom po każdym działaniu powiedzieć, jak doszli do wyniku. Pamiętałem? Liczyłem? Doszedłem z innego działania?
Pierwsza rzecz, którą z tego widać, jest sama w sobie zaskakująca.
2Dorośli wcale nie pamiętają całej tabliczki
Przyjmuje się, że dorosły człowiek ma tabliczkę „w pamięci” i po prostu odczytuje wynik. Badanie pokazało, że to nieprawda — a przynajmniej nie zawsze.
| Eksperyment 1 (16 osób) | Eksperyment 2 (31 osób) | |
|---|---|---|
| wynik przypomniany z pamięci | 81,8 % prób | 60,3 % prób |
| reszta | wyliczanie | wyliczanie |
W drugim eksperymencie cztery na dziesięć działań dorośli liczyli, a nie pamiętali. Najczęstszy sposób to dojście z sąsiedniego działania: 6 · 7 rozwiązywane jako 6 · 6 plus 6. Robiło tak ponad połowa badanych.
Jeśli więc Twoje dziecko przy 6 · 7 „kombinuje zamiast pamiętać” — robi dokładnie to, co robi znaczna część dorosłych. To nie jest objaw tego, że coś poszło źle.
3Ranking: wszystkie 36 działań od najtrudniejszego
W dodatku do artykułu autorzy podali, dla każdego z 64 układów operandów od 2 do 9, odsetek przypadków, w których badany po prostu pamiętał wynik. Poniżej te dane zwinięte do 36 działań (6 · 9 i 9 · 6 to jedno działanie, więc uśredniam oba zapisy).
Im niższy procent, tym rzadziej ktokolwiek po prostu pamiętał wynik.
| # | Działanie | Wynik | „po prostu pamiętam” |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 · 9 | 54 | 61,0 % |
| 2 | 7 · 9 | 63 | 62,5 % |
| 3 | 8 · 9 | 72 | 72,0 % |
| 4 | 3 · 9 | 27 | 74,0 % |
| 5 | 7 · 8 | 56 | 74,0 % |
| 6 | 4 · 9 | 36 | 76,5 % |
| 7 | 6 · 8 | 48 | 76,5 % |
| 8 | 3 · 8 | 24 | 77,0 % |
| 9 | 4 · 7 | 28 | 78,0 % |
| 10 | 2 · 6 | 12 | 81,0 % |
| 11 | 5 · 9 | 45 | 81,0 % |
| 12 | 2 · 7 | 14 | 81,5 % |
| 13 | 4 · 8 | 32 | 82,5 % |
| 14 | 2 · 4 | 8 | 84,0 % |
| 15 | 2 · 5 | 10 | 84,0 % |
| 16 | 5 · 8 | 40 | 84,5 % |
| 17 | 6 · 7 | 42 | 84,5 % |
| 18 | 9 · 9 | 81 | 85,0 % |
| 19 | 2 · 8 | 16 | 86,0 % |
| 20 | 2 · 9 | 18 | 86,0 % |
| 21 | 3 · 5 | 15 | 86,0 % |
| 22 | 3 · 6 | 18 | 86,0 % |
| 23 | 5 · 7 | 35 | 86,0 % |
| 24 | 5 · 6 | 30 | 87,0 % |
| 25 | 2 · 3 | 6 | 88,0 % |
| 26 | 4 · 6 | 24 | 89,0 % |
| 27 | 4 · 4 | 16 | 91,0 % |
| 28 | 2 · 2 | 4 | 92,0 % |
| 29 | 3 · 7 | 21 | 92,0 % |
| 30 | 4 · 5 | 20 | 93,0 % |
| 31 | 5 · 5 | 25 | 93,0 % |
| 32 | 3 · 3 | 9 | 94,0 % |
| 33 | 8 · 8 | 64 | 94,0 % |
| 34 | 3 · 4 | 12 | 95,0 % |
| 35 | 7 · 7 | 49 | 96,0 % |
| 36 | 6 · 6 | 36 | 98,0 % |
4Co z tej tabeli wynika
1. Dziewiątka, a nie siódemka
Cztery z pięciu najtrudniejszych działań mają w sobie dziewiątkę. Wszystkie działania z dziewiątką poza 9 · 9 dają średnio 73,3 % — najniżej ze wszystkich rodzin.
Całe tabliczki ustawione od najtrudniejszej (pomijam kwadrat każdej rodziny, żeby nie zaburzał wyniku — dlaczego, za chwilę):
| Tabliczka | Średnio „pamiętam” |
|---|---|
| × 9 | 73,3 % |
| × 8 | 78,9 % |
| × 7 | 79,8 % |
| × 6 | 80,7 % |
| × 2 | 84,4 % |
| × 3 | 85,4 % |
| × 4 | 85,4 % |
| × 5 | 85,9 % |
Kolejność jest zaskakująco uporządkowana: 9, 8, 7, 6 — a potem cała reszta. Dziewiątka wyprzedza ósemkę o ponad pięć punktów, czyli o tyle, ile dzieli ósemkę od szóstki.
To jest o tyle zaskakujące, że dziewiątka ma najprostszą regułę w całej tabliczce: ×10 minus raz. 7 · 9 to siedemdziesiąt bez siedmiu, czyli 63. Reguła jest łatwa, a zapamiętanie wyniku — trudne. Jedno nie zastępuje drugiego, i to jest chyba najważniejszy praktyczny wniosek z całej tej tabeli.
2. Kwadraty są najłatwiejsze, i to o klasę
| średnio „pamiętam” | |
|---|---|
| kwadraty (2·2, 3·3 … 9·9) | 92,9 % |
| wszystkie pozostałe działania | 81,7 % |
Najłatwiejszym działaniem w całej tabliczce jest 6 · 6 — 98 %. Zaraz za nim 7 · 7 i 8 · 8. To są duże liczby, których nikt nie powinien pamiętać lepiej niż 3 · 6, a jednak.
Badacze wiedzą o tym od dawna i zwykle wyrzucają kwadraty ze swoich badań, żeby nie zaburzały wyniku. W pracy Dickson i in. z 2022 roku (57 dzieci z klas 3–5) uzasadniono to wprost: kwadraty dają osłabiony efekt trudności „ze względu na ich szczególny status w pamięci”.
3. Im większy wynik, tym trudniej — ale dopiero gdy odłożyć kwadraty
To, że trudność rośnie z wielkością wyniku, nazywa się efektem wielkości zadania. Policzyłem, jak mocno widać go w tych danych:
| Co liczone | Siła związku |
|---|---|
| wszystkie 36 działań | r = −0,42 |
| bez kwadratów, 28 działań | r = −0,70 |
Związek jest wyraźnie silniejszy po odłożeniu kwadratów na bok. Innymi słowy: reguła „większy wynik = trudniej” działa dobrze — z jednym wyjątkiem, którym są kwadraty.
5Co z tym robić w domu
Trzy wnioski, które da się zastosować od jutra.
- Nie rozkładaj powtórki równo. 6 · 9 i 7 · 9 zasługują na kilkakrotnie więcej powtórzeń niż 6 · 6. Równy czas na każde działanie to zmarnowany czas.
- Kwadraty potraktuj jako jedną porcję. Sześć kwadratów z trudnej części tabliczki (3·3, 4·4, 6·6, 7·7, 8·8, 9·9) to materiał raczej na jeden wieczór niż na sześć.
- Nie uznawaj wyliczania za porażkę. Skoro dorośli w kilkudziesięciu procentach przypadków liczą zamiast pamiętać, to dziecko, które umie dojść do wyniku, ma umiejętność, a nie brak umiejętności. Automatyczność przychodzi z powtarzania — ale dochodzenie do wyniku jest tym, co pozwala dziecku nie utknąć.
6Czego te dane NIE mówią
Trzy zastrzeżenia, bez których ta tabela byłaby nadużyciem.
- Badano dorosłych, nie dzieci uczące się tabliczki. To są studenci. „Łatwe dla dorosłego” nie musi znaczyć „łatwe do nauczenia”. Kwadraty mogą być łatwe dlatego, że mają wyrazistą formę, a nie dlatego, że szybciej się je przyswaja.
- To jedno badanie, na 16 i 31 osobach w dwóch eksperymentach. Kierunek jest wyraźny, ale pojedyncze pozycje w rankingu mogą się przesuwać.
- Metodą jest samoopis. Badani mówili, jak rozwiązali działanie. Autorzy sprawdzali wiarygodność tych deklaracji czasami reakcji i wychodziło im, że się zgadzają — ale to wciąż deklaracje, nie pomiar tego, co dzieje się w głowie.
7Źródła
- LeFevre J.-A., Bisanz J., Daley K. E., Buffone L., Greenham S. L., Sadesky G. S., Multiple Routes to Solution of Single-Digit Multiplication Problems, Journal of Experimental Psychology: General, 1996, 125(3), s. 284–306. Tabela 3 i dodatek.
- Dickson D. S., Grenier A. E., Obinyan B. O., Wicha N. Y. Y., When multiplying is meaningful in memory: Electrophysiological signature of the problem size effect in children, Journal of Experimental Child Psychology, 2022, 219:105399.
Współczynniki korelacji i średnie w tabelach są wyliczone przeze mnie na danych z dodatku do pierwszej pracy.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Materiał PDF · sklep
Tabliczka mnożenia do 30, klasa 2 — 12 kart pracy PDF z kluczem
12 kart pracy do tabliczki mnożenia w zakresie 30 dla klasy 2: mnożenie jako dodawanie, kolumny ·2 do ·10, przemienność, tabela…
7,90 zł
Zobacz w sklepie →
Sprawdzian PDF · sklep
Tabliczka mnożenia — 17 testów na czas i 3 sprawdziany PDF z kluczem
17 krótkich testów na czas i 3 sprawdziany z tabliczki mnożenia (600 działań).
9,90 zł
Zobacz w sklepie →8Pytania i odpowiedzi
Które działanie z tabliczki jest najtrudniejsze?
6 · 9, a zaraz za nim 7 · 9. W badaniu, na którym opiera się ten ranking, wynik 6 · 9 był po prostu pamiętany tylko w 61 % przypadków — najrzadziej ze wszystkich 36 działań. Cztery z pięciu najtrudniejszych mają w sobie dziewiątkę.
Dlaczego dziewiątka, skoro ma najprostszą regułę?
Bo to dwie różne rzeczy. Reguła „×10 minus raz” jest łatwa i dziecko szybko się jej uczy — ale łatwa reguła to nie to samo co łatwe zapamiętanie wyniku. Dlatego dziewiątki warto powtarzać dłużej niż resztę, mimo że liczy się je najprościej.
Czy kwadraty naprawdę są łatwiejsze?
Tak, i to wyraźnie: kwadraty pamiętane są średnio w 93 % przypadków, reszta działań w 82 %. Najłatwiejsze w całej tabliczce jest 6 · 6 — 98 %. Badacze wiedzą o tym na tyle dobrze, że zwykle wyrzucają kwadraty ze swoich zestawów, żeby nie zaburzały wyniku.
Jak to zmienia sposób ćwiczenia w domu?
Najprościej: nie rozkładaj powtórki równo. 6 · 9 i 7 · 9 zasługują na kilkakrotnie więcej powtórzeń niż 6 · 6. Sześć trudnych kwadratów to materiał raczej na jeden wieczór niż na sześć.
Czy to badanie dotyczyło dzieci?
Nie — i to jest najważniejsze zastrzeżenie. Badano studentów, nie dzieci uczące się tabliczki. „Łatwe dla dorosłego” nie musi znaczyć „łatwe do nauczenia”. Traktuję ten ranking jako mocną wskazówkę, a nie dowód, i tak go opisuję w tekście.
Czytaj dalej
Tabliczka mnożenia — wszystko w jednym miejscuTabela do 100, materiały do druku i kolejność naukiSprawdzian z tabliczki mnożeniaArkusze z kluczem — sprawdź, które działania kuleją u Twojego dzieckaCiekawostki o tabliczce mnożeniaDwadzieścia trzy fakty, każdy policzony albo sprawdzonyCzy testy na czas szkodzą?Zanim zaczniesz mierzyć szybkość — uczciwy przegląd sporu
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-09-19. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.